Прямая пропорциональная зависимость

«Прямая и обратная пропорциональные зависимости» — Учебник по математике 6 класс (Виленкин)

Краткое описание:

В этом разделе Вы узнаете, какие величины прямо пропорциональные, а какие обратно пропорциональные.
Для того, чтобы понять, давайте сначала разберем простую задачку про квадрат и периметр. Вы знаете, что периметр квадрата равен длине стороны умноженной на четыре, то есть Р=4*а (а – это сторона квадрата). Пусть сторона квадрата у нас будет четыре. Чему равен периметр? Р=4*4=16, значит, если сторона квадрата равна четырем, то его периметр равен 16. Если сторона квадрата 8, чему равен периметр? Р=4*8=32. Значит, если сторона квадрата равна 8, то периметр равен 32. Вы заметили, мы увеличили сторону квадрата в 2 раза (8:4=2) и периметр квадрата тоже увеличился в 2 раза (32:16=2). Когда при увеличении одной величины во столько же раз увеличивается и другая величина, говорят, что эти величины прямо пропорциональны. Можно сказать, что величина Р прямо пропорциональна величине а либо еще говорят, что зависимость величины Р от величины а прямо пропорциональная.
Или вот еще представьте себе ситуацию. Вы знаете, что до школы Вам идти 800 метров (да, школа недалеко, поэтому утром можно поспать немного подольше). Обычно Вы проходите это расстояние за 8 минут. С какой скоростью Вы идете в школу? Для нахождения скорости Вам нужно разделить расстояние на время: V=S/t, значит V=800/8=100 метров за минуту. Но сегодня Вы проспали и вышли из дома, когда до начала уроков оставалось всего 4 минутки и Вам просто необходимо за это время успеть добежать до школы. С какой скоростью Вы будете бежать? V=800/4=200 м за минуту. Вы заметили, чем меньше время, тем больше скорость. Такую зависимость величин называют обратно пропорциональной, когда при уменьшении одной увеличивается другая.
Но не все величины в формулах можно называть прямо либо обратно пропорциональными. Вы знаете, что площадь квадрата равна произведению его сторон: S=a*a, у нас есть квадрат со стороной четыре, тогда его площадь S=4*4=16. Если сторона увеличится в два раза и станет 4*2=8, как изменится его площадь? S=8*8=64, стало 64, было 16, 64:16=4. Вы заметили, что сторона квадрата увеличилась в 2 раза, а его площадь – в четыре, значит эти величины (сторона и площадь) не являются прямо пропорциональными, потому что увеличились в разное число раз.

6 класс

УРОК № 12. Глава 1 . Отношения, пропорции, проценты (26 часов)

Тема . Прямая и обратная пропорциональность. С/р № 3.

Цель . Проверить знания учащихся по теме «Пропорции». Дать определение прямо пропорциональных и обратно пропорциональных величин. Научится решать задачи по данной теме.

Ход урока.

Вариант 1. Вариант 1.

Решить пропорцию: Решить пропорцию:

1)
, 1)
,

,
,

. Ответ :
.
. Ответ :
.

2) , 2)
,

,
,

. Ответ : .
. Ответ :
.

3)
, 3)
,

,
,

,
,

. Ответ :
.
. Ответ :
.

Объяснение нового материала.

Прямая и обратная пропорциональность.

Мультимедийная доска. Электронное приложение. Каталог. Анимация. Расход электроэнергии в квартире. (1 мин 31 секунды)

(Слайд 2) . Пусть ручка стоит 3 р. (это цена). Тогда легко рассчитать стоимость двух, трех и т.д. ручек по формуле: .

Количество ручек, шт.

Стоимость, р.

Заметим, что с увеличением количества ручек в несколько раз их стоимость увеличивается во столько же раз.

Говорят, что стоимость покупки прямо пропорциональна количеству купленных ручек.

(Слайд 3) . Определение. Две величины называются прямо пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

(Слайд 4) . Примеры прямо пропорциональных величин:

1. Периметр квадрата и длина стороны квадрата – прямо пропорциональные величины.
.

2. Если скорость движения постоянна, то пройденный путь и время движения – прямо пропорциональные величины.
.

3. Если производительность труда постоянна, то объём выполненных работ и время – прямо пропорциональные величины.
.

4. Выручка кассы кинотеатра прямо пропорциональна количеству проданных билетов при одинаковой цене. И т.д.

(Слайд 5) . Задача 1 . За 5 тетрадей в клетку заплатили 40 р. Сколько заплатят за 12 таких же тетрадей?

Кол-во Стоимость

5 тетрадей – 40 р. Прямая пропорциональность

12 тетрадей – х р.

Решение.

Т.к. величины прямо пропорциональны равно

,

,

.

96 р. заплатят за 12 тетрадей. Ответ : 96 р.

(Слайд 6) . Хотят купить на 120 р. несколько одинаковых книг. Тогда легко рассчитать количество книг по 10 р., 20 р., 30 р. 40 р. и т.д. по формуле:
.

Цена, р.

Количество книг, шт.

Заметим, что с увеличением цены книги в несколько раз их количество уменьшается во столько же раз.

Говорят, что количество купленных книг обратно пропорционально их цене.

(Слайд 7) . Определение. Две величины называются обратно пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению значений другой величины.

(Слайд 8) . Примеры обратно пропорциональных величин:

1. Если пройденный путь постоянен, то скорость движения и время движения – обратно пропорциональные величины.
.

2. Если производительность труда постоянна, то объём выполненных работ и время – обратно пропорциональные величины.
.

(Слайд 9) . Задача 2 . 6 рабочих выполнят работу за 5 часов. За какое время справятся с этой работой 3 рабочих?

Кол-во Время

6 рабочих – 5 ч Обратная пропорциональность

3 рабочих – х ч

Решение.

Т.к. величины обратно пропорциональны , то отношения двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

,

,

.

За 10 ч справятся с этой работой 3 рабочих. Ответ : 10 ч.

Алгоритм решения задач.

Составить краткую запись и определить вид пропорциональности. (Одноименные величины записываются друг под другом)

Составить пропорцию.

• Если две величины прямо пропорциональны , то отношения двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.

  Если две величины обратно пропорциональны , то отношения двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Найти неизвестный член пропорции.

Проанализировать полученный результат и записать ответ.

Решение упражнений.

Уч.с.21 № 75(а) . В 100 г раствора содержится 4 г соли. Сколько соли содержится в 300 г этого раствора?

Р-р Соль

100 г – 4 г Прямая пропорциональность

300 г – х г

Решение.

Т.к. величины прямо пропорциональны , то отношения двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.

,

,

.

12 г соли содержится в 300 г этого раствора. Ответ : 12 г.

Уч.с.22 № 88 . Некоторую работу 6 человек сделают за 18 дней. За сколько дней сделают эту же работу 9 человек, работающие так же успешно, как и первые?

Кол-во Время

6 человек – 18 дн. Обратная пропорциональность кг богатой железом руды. Сколько руды заменяют 4 т металлолома?

Домашнее задание. § 1.5 (выучить теорию). № 73, 75(б), 77 (а), 84(б).

Решение задач из задачника Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд за 6 класс по математике на тему:

Глава I. Обыкновенные дроби.
§ 4. Отношения и пропорции:
22. Прямая и обратная пропорциональные зависимости

1 За 3,2 кг товара заплатили 115,2 р. Сколько следует заплатить за 1,5 кг этого товара?
РЕШЕНИЕ

2 Два прямоугольника имеют одинаковую площадь. Длина первого прямоугольника 3,6 м, а ширина 2,4 м. Длина второго 4,8 м. Найдите его ширину.
РЕШЕНИЕ

782 Определите, является ли прямой, обратной, или не является пропорциональной зависимость между величинами: путем, пройденным автомашиной с постоянной скоростью, и временем ее движения; стоимостью товара, купленного по одной цене, и его количеством; площадью квадрата и длиной его стороны; массой стального бруска и его объемом; числом рабочих, выполняющих с одинаковой производительностью труда некоторую работу, и временем выполнения; стоимостью товара и его количеством, купленным на определенную сумму денег; возрастом человека и размером его обуви; объемом куба и длиной его ребра; периметром квадрата и длиной его стороны; дробью и ее знаменателем, если числитель не изменяется; дробью и ее числителем, если знаменатель не изменяется.
РЕШЕНИЕ

783 Стальной шарик объемом 6 см3 имеет массу 46,8 г. Какова масса шарика из той же стали, если его объем 2,5 см3?
РЕШЕНИЕ

784 Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?
РЕШЕНИЕ

785 Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку за 210 мин. За какое время 7 бульдозеров расчистят эту площадку?
РЕШЕНИЕ

786 Для перевозки груза потребовалось 24 машины грузоподъемностью 7,5 т. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз?
РЕШЕНИЕ

787 Для определения всхожести семян посеяли горох. Из 200 посеянных горошин взошло 170. Какой процент горошин дали всходы (всхожести)?
РЕШЕНИЕ

788 Во время воскресника по озеленению города на улице посадили липы. Принялось 95% всех посаженных лип. Сколько их посадили, если принялось 57 лип?
РЕШЕНИЕ

789 В лыжной секции занимаются 80 учащихся. Среди них 32 девочки. Какой процент участников секции составляют девочки и мальчики?
РЕШЕНИЕ

790 Завод должен был за месяц по плану выплавить 980 т стали. Но план выполнили на 115%. Сколько тонн стали выплавил завод?
РЕШЕНИЕ

791 За 8 месяцев рабочий выполнил 96% годового плана. Сколько процентов годового плана выполнит рабочий за 12 месяцев, если будет работать с той же производительностью?
РЕШЕНИЕ

792 За три дня было убрано 16,5% всей свеклы. Сколько потребуется дней, чтобы убрать 60,5% свеклы, если работать с той же производительностью?
РЕШЕНИЕ

793 В железной руде на 7 частей железа приходится 3 части примесей. Сколько тонн примесей в руде, которая содержит 73,5 т железа?
РЕШЕНИЕ

794 Для приготовления борща на каждые 100 г мяса надо взять 60 г свеклы. Сколько свеклы надо взять на 650 г мяса?
РЕШЕНИЕ

796 Представьте в виде суммы двух дробей с числителем 1 каждую из следующих дробей.
РЕШЕНИЕ

797 Из чисел 3. 7, 9 и 21 составьте две верные пропорции.
РЕШЕНИЕ

798 Средние члены пропорции 6 и 10. Какими могут быть крайние члены? Приведите примеры.
РЕШЕНИЕ

799 При каком значении x верна пропорция.
РЕШЕНИЕ

800 Найдите отношение 2 мин к 10 c; 0,3 м2 к 0,1 дм2; 0,1 кг к 0,1 г; 4 ч к 1 сут; 3 дм3 к 0,6 м3
РЕШЕНИЕ

801 Где на координатном луче должно быть расположено число c, чтобы была верна пропорция.
РЕШЕНИЕ

802 Закройте таблицу листом бумаги. На несколько секунд откройте первую строку и затем, закрыв ее, постарайтесь повторить или записать три числа этой строки. Если вы верно воспроизвели все числа, переходите ко второй строке таблицы. Если в какой-либо строке допущена ошибка, сами напишите несколько наборов из такого же, количества двузначных чисел и тренируйтесь в запоминании. Если вы можете без ошибок воспроизвести не менее пяти двузначных чисел, у вас хорошая память.
РЕШЕНИЕ

804 Можно ли составить верную пропорцию из следующих чисел.
РЕШЕНИЕ

805 Из равенства произведений 3 · 24 = 8 · 9 составьте три верные пропорции.
РЕШЕНИЕ

806 Длина отрезка AB равна 8 дм, а длина отрезка CD равна 2 см. Найдите отношение длин AB и CD. Какую часть AB составляет длина CD?
РЕШЕНИЕ

807 Путевка в санаторий стоит 460 р. Профсоюз оплачивает 70% стоимости путевки. Сколько за путевку заплатит отдыхающий?
РЕШЕНИЕ

808 Найдите значение выражения.
РЕШЕНИЕ

809 1) При обработке детали из отливки массой 40 кг в отходы ушло 3,2 кг. Какой процент составляет масса детали от отливки? 2) При сортировке зерна из 1750 кг в отходы ушло 105 кг. Какой процент зерна остался?

Если станок с числовым программным управлением за 2 ч изготовляет 28 деталей, то за вдвое большее время, т. е. за 4 ч, он изготовит вдвое больше таких деталей, т. е. 28 2 = 56 деталей. Во сколько раз больше времени будет работать станок, во столько раз больше деталей он изготовит. Значит, равны отношения 4: 2 и 56: 28. Следовательно, верна пропорция 4: 2 = 56: 28. Такие величины, как время работы станка и число изготовленных деталей, называют прямо пропорциональными величинами.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Пусть путь из города А в город В поезд со скоростью 40 км/ч проходит за 12 ч. Если скорость движения увеличить вдвое, т. е. сделать её равной 80 км/ч, то на этот же путь поезд затратит вдвое меньше времени, т. е. 6 ч. Во сколько раз увеличится скорость движения, во столько же раз уменьшится время движения. В этом случае отношение 80: 40 будет равно не отношению 6: 12, а обратному отношению 12: 6. Следовательно, верна пропорция 80: 40 = 12: 6. Такие величины, как скорость и время, называют обратно пропорциональными величинами.

Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Не всякие две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, рост ребёнка увеличивается при увеличении его возраста, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста рост ребёнка не удваивается.

Задачи на пропорциональные величины можно решить с помощью пропорции.

Задача 1. За 3,2 кг товара заплатили 115,2 р. Сколько следует заплатить за 1,5 кг этого товара?

Решение. Запишем кратко условие задачи в виде таблицы, обозначив буквой х стоимость (в рублях) 1,5 кг этого товара.

Запись будет иметь следующий вид:

Зависимость между количеством товара и стоимостью покупки прямо пропорциональна, так как если купить товара в несколько раз больше, то и стоимость покупки увеличится во столько же раз. Условно обозначим такую зависимость одинаково направленными стрелками.

Запишем пропорцию: .

Ответ: 54 р.

Задача 2. Два прямоугольника имеют одинаковую площадь. Длина первого прямоугольника 3,6 м, а ширина 2,4 м. Длина второго прямоугольника 4,8 м. Найдите ширину второго прямоугольника.

Решение. Обозначив буквой х ширину (в метрах) второго прямоугольника, запишем кратко условие задачи:

Зависимость между шириной и длиной при одном и том же значении площади прямоугольника обратно пропорциональная, так как если увеличить длину прямоугольника в несколько раз, то надо ширину во столько же раз уменьшить. Условно обозначим такую зависимость противоположно направленными стрелками.

Запишем пропорцию:

Теперь найдём неизвестный член пропорции:

Ответ: 1,8 м.

Вопросы для самопроверки

• Какие величины называют прямо пропорциональными? Что можно сказать об отношениях соответствующих значений таких величин?
• Приведите примеры прямо пропорциональных величин.
• Какие величины называют обратно пропорциональными? Что можно сказать об отношениях соответствующих значений таких величин?
• Приведите примеры обратно пропорциональных величин.
• Приведите примеры величин, у которых зависимость не является ни прямо, ни обратно пропорциональной.

Выполните упражнения

782. Определите, является ли прямо пропорциональной, обратно пропорциональной или не является пропорциональной зависимость между величинами:

• а) путём, пройденным автомашиной с постоянной скоростью, и временем её движения;
• б) стоимостью товара, купленного по одной цене, и его количеством;
• в) площадью квадрата и длиной его стороны;
• г) массой стального бруска и его объёмом;
• д) числом рабочих, выполняющих с одинаковой производительностью труда некоторую работу, и временем выполнения этой работы;
• е) стоимостью товара и его количеством, купленным на определённую сумму денег;
• ж) возрастом человека и размером его обуви;
• з) объёмом куба и длиной его ребра;
• и) периметром квадрата и длиной его стороны;
• к) дробью и её знаменателем, если числитель не изменяется;
• л) дробью и её числителем, если знаменатель не изменяется.

Задачи № 783 - 794 решите, составив пропорцию.

783. Стальной шарик объёмом б см 3 имеет массу 46,8 г. Какова масса шарика из той же стали, если его объём 2,5 см 3 ?

784. Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?

785. Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку за 210 мин. За какое время 7 бульдозеров расчистили бы эту площадку?

786. Для перевозки груза потребовалось 24 машины грузоподъёмностью 7,5 т. Сколько нужно машин грузоподъёмностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз?

787. Для определения всхожести семян посеяли горох. Из 200 посеянных горошин взошло 170. Какой процент горошин дал всходы (процент всхожести)?

788. Весной при проведении работ по озеленению города на улице посадили липы. Принялось 95% всех посаженных лип. Сколько посадили лип, если принялось 57 лип?

789. В лыжной секции занимаются 80 учащихся. Среди них 32 девочки. Какой процент участников секции составляют девочки и какой - мальчики?

790. Завод должен был за месяц по плану выплавить 980 т стали. Но план выполнили на 115%. Сколько тонн стали выплавил завод?

791. За 8 месяцев рабочий выполнил 96% годового плана. Сколько процентов годового плана выполнит рабочий за 12 месяцев, если будет работать с той же производительностью?

792. За три дня было убрано 16,5% всей свёклы. Сколько потребуется дней, чтобы убрать 60,5% всей свёклы, если работать с той же производительностью?

793. В железной руде на 7 частей железа приходится 3 части примесей. Сколько тонн примесей в руде, которая содержит 73,5 т железа?

794. Для приготовления борща на каждые 100 г мяса надо взять 60 г свёклы. Сколько свёклы надо взять на 650 г мяса?

795. Вычислите устно:

796. Представьте в виде суммы двух дробей с числителем 1 каждую из следующих дробей: .

797. Из чисел 3, 7, 9 и 21 составьте две верные пропорции.

798. Средние члены пропорции 6 и 10. Какими могут быть крайние члены? Приведите примеры.

799. При каком значении х верна пропорция:

800. Найдите отношение:

• а) 2 мин к 10 с;
• б) 0,3 м 2 к 0,1 дм 2 ;
• в) 0,1 кг к 0,1 г;
• г) 4 ч к 1 сут;
• д) 3 дм 3 к 0,6 м 3 .

801. Где на координатном луче должно быть расположено число с, чтобы была верна пропорция (рис. 34)?

Рис. 34

802. Развивайте свою память! Закройте таблицу листом бумаги. На несколько секунд откройте первую строку и затем, вновь закрыв её, постарайтесь повторить или записать три числа этой строки. Если вы верно воспроизвели все числа, переходите ко второй строке таблицы. Если в какой-либо строке допущена ошибка, сами напишите несколько наборов из такого же, как в строке, количества двузначных чисел и тренируйтесь в их запоминании. Если вы можете без ошибок воспроизвести не менее пяти двузначных чисел, у вас хорошая память.

803. Решите уравнение:

804. Можно ли составить верную пропорцию из следующих чисел:

805. Из равенства произведений 3 24 = 8 9 составьте три верные пропорции.

806. Длина отрезка АВ равна 8 дм, а длина отрезка CD равна 2 см. Найдите отношение длин отрезков АВ и CD. Какую часть длины отрезка АВ составляет длина отрезка CD?

807. В санатории 460 отдыхающих, из которых 70% взрослые, а остальные - дети. Сколько детей отдыхало в санатории?

808. Найдите значение выражения:

809. Решите задачу:

1. При обработке детали из отливки массой 40 кг в отходы ушло 3,2 кг. Какой процент составляет масса детали от массы отливки?
2. При сортировке зерна из 1750 кг в отходы ушло 105 кг. Какой процент зерна остался?

810. Найдите значение выражения:

1. 6,0008: 2,6 + 4,23 0,4;
2. 2,91 1,2 + 12,6288: 3,6.

811. Из 20 кг яблок получается 16 кг яблочного пюре. Сколько яблочного пюре получится из 45 кг яблок?

812. Трое маляров могут закончить работу за 5 дней. Для ускорения работы добавили ещё двух маляров. За какое время они закончат работу, если все маляры работают с одинаковой производительностью?

813. Бетонная плита объёмом 2,5 м 3 имеет массу 4,75 т. Каков объём плиты из такого же бетона, если её масса 6,65 т?

814. В сахарной свёкле содержится 18,5% сахара. Сколько сахара содержится в 38,5 т сахарной свёклы? Ответ округлите до десятых долей тонны.

815. В семенах подсолнечника нового сорта содержится 49,5% масла. Сколько килограммов таких семян надо взять, чтобы в них содержалось 29,7 кг масла?

816. В 80 кг картофеля содержится 14 кг крахмала. Найдите процентное содержание крахмала в таком картофеле.

817. В семенах льна содержится 47% масла. Сколько масла содержится в 80 кг семян льна?

818. Рис содержит 75% крахмала, а ячмень - 60%. Сколько надо взять ячменя, чтобы в нём содержалось столько же крахмала, сколько его содержится в 5 кг риса?

819. Найдите значение выражения:

• а) 203,81: (141 - 136,42) + 38,4: 0,75;
• б) 96: 7,5 + 288,51: (80 - 76,74).