Которая вычисляет суммы заданных прогрессий по формулам. Сумма арифметической прогрессии
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Арифметическая прогрессия - это ряд чисел, в котором каждое число больше (или меньше) предыдущего на одну и ту же величину.
Эта тема частенько представляется сложной и непонятной. Индексы у буковок, n-й член прогрессии, разность прогрессии - всё это как-то смущает, да... Разберёмся со смыслом арифметической прогрессии и всё сразу наладится.)
Понятие арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия - понятие очень простое и чёткое. Сомневаетесь? Зря.) Смотрите сами.
Я напишу незаконченный ряд чисел:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Сможете продлить этот ряд? Какие числа пойдут дальше, за пятёркой? Каждый... э-э-э..., короче, каждый сообразит, что дальше пойдут числа 6, 7, 8, 9 и т.д.
Усложним задачу. Даю незаконченный ряд чисел:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Сможете уловить закономерность, продлить ряд, и назвать седьмое число ряда?
Если сообразили, что это число 20 - я вас поздравляю! Вы не только почувствовали ключевые моменты арифметической прогрессии, но и успешно употребили их в дело! Если не сообразили - читаем дальше.
А теперь переведём ключевые моменты из ощущений в математику.)
Первый ключевой момент.
Арифметическая прогрессия имеет дело с рядами чисел. Это и смущает поначалу. Мы привыкли уравнения решать, графики строить и всё такое... А тут продлить ряд, найти число ряда...
Ничего страшного. Просто прогрессии - это первое знакомство с новым разделом математики. Раздел называется "Ряды" и работает именно с рядами чисел и выражений. Привыкайте.)
Второй ключевой момент.
В арифметической прогрессии любое число отличается от предыдущего на одну и ту же величину.
В первом примере эта разница - единичка. Какое число ни возьми, оно больше предыдущего на единичку. Во втором - тройка. Любое число больше предыдущего на тройку. Собственно, именно этот момент и даёт нам возможность уловить закономерность и рассчитать последующие числа.
Третий ключевой момент.
Этот момент не бросается в глаза, да... Но очень, очень важен. Вот он: каждое число прогрессии стоит на своём месте. Есть первое число, есть седьмое, есть сорок пятое, и т.д. Если их перепутать как попало, закономерность исчезнет. Исчезнет и арифметическая прогрессия. Останется просто ряд чисел.
Вот и вся суть.
Разумеется, в новой теме появляются новые термины и обозначения. Их надо знать. Иначе и задание-то не поймёшь. Например, придётся решать, что-нибудь, типа:
Выпишите первые шесть членов арифметической прогрессии (a n), если a 2 = 5, d = -2,5.
Внушает?) Буковки, индексы какие-то... А задание, между прочим - проще некуда. Просто нужно понять смысл терминов и обозначений. Сейчас мы это дело освоим и вернёмся к заданию.
Термины и обозначения.
Арифметическая прогрессия - это ряд чисел, в котором каждое число отличается от предыдущего на одну и ту же величину.
Эта величина называется . Разберёмся с этим понятием поподробнее.
Разность арифметической прогрессии.
Разность арифметической прогрессии - это величина, на которую любое число прогрессии больше предыдущего.
Один важный момент. Прошу обратить внимание на слово "больше". Математически это означает, что каждое число прогрессии получается прибавлением разности арифметической прогрессии к предыдущему числу.
Для расчёта, скажем, второго числа ряда, надо к первому числу прибавить эту самую разность арифметической прогрессии. Для расчёта пятого - разность надо прибавить к четвёртому, ну и т.п.
Разность арифметической прогрессии может быть положительной, тогда каждое число ряда получится реально больше предыдущего. Такая прогрессия называется возрастающей. Например:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Здесь каждое число получается прибавлением положительного числа, +5 к предыдущему.
Разность может быть и отрицательной, тогда каждое число ряда получится меньше предыдущего. Такая прогрессия называется (вы не поверите!) убывающей.
Например:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Здесь каждое число получается тоже прибавлением к предыдущему, но уже отрицательного числа, -5.
Кстати, при работе с прогрессией очень полезно бывает сразу определить её характер - возрастающая она, или убывающая. Это здорово помогает сориентироваться в решении, засечь свои ошибки и исправить их, пока не поздно.
Разность арифметической прогрессии обозначается, как правило, буквой d.
Как найти d ? Очень просто. Надо от любого числа ряда отнять предыдущее число. Вычесть. Кстати, результат вычитания называется "разность".)
Определим, например, d для возрастающей арифметической прогрессии:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Берём любое число ряда, какое хотим, например, 11. Отнимаем от него предыдущее число, т.е. 8:
Это правильный ответ. Для этой арифметической прогрессии разность равна трём.
Брать можно именно любое число прогрессии, т.к. для конкретной прогрессии d - всегда одно и то же. Хоть где-нибудь в начале ряда, хоть в середине, хоть где угодно. Брать нельзя только самое первое число. Просто потому, что у самого первого числа нет предыдущего. )
Кстати, зная, что d = 3 , найти седьмое число этой прогрессии очень просто. Прибавим 3 к пятому числу - получим шестое, это будет 17. Прибавим к шестому числу тройку, получим седьмое число - двадцать.
Определим d для убывающей арифметической прогрессии:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Напоминаю, что, независимо от знаков, для определения d надо от любого числа отнять предыдущее. Выбираем любое число прогрессии, например -7. Предыдущее у него - число -2. Тогда:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Разность арифметической прогрессии может быть любым числом: целым, дробным, иррациональным, всяким.
Другие термины и обозначения.
Каждое число ряда называется членом арифметической прогрессии.
Каждый член прогрессии имет свой номер. Номера идут строго по порядочку, безо всяких фокусов. Первый, второй, третий, четвёртый и т.д. Например, в прогрессии 2, 5, 8, 11, 14, ... двойка - это первый член, пятёрка - второй, одиннадцать - четвёртый, ну, вы поняли...) Прошу чётко осознать - сами числа могут быть совершенно любые, целые, дробные, отрицательные, какие попало, но нумерация чисел - строго по порядку!
Как записать прогрессию в общем виде? Не вопрос! Каждое число ряда записывается в виде буквы. Для обозначения арифметической прогрессии используется, как правило, буква a . Номер члена указывается индексом внизу справа. Члены пишем через запятую (или точку с запятой), вот так:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 - это первое число, a 3 - третье, и т.п. Ничего хитрого. Записать этот ряд кратко можно вот так: (a n ).
Прогрессии бывают конечные и бесконечные.
Конечная прогрессия имеет ограниченное количество членов. Пять, тридцать восемь, сколько угодно. Но - конечное число.
Бесконечная прогрессия - имеет бесконечное количество членов, как можно догадаться.)
Записать конечную прогрессию через ряд можно вот так, все члены и точка в конце:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
Или так, если членов много:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
В краткой записи придётся дополнительно указывать количество членов. Например (для двадцати членов), вот так:
(a n), n = 20
Бесконечную прогрессию можно узнать по многоточию в конце ряда, как в примерах этого урока.
Теперь уже можно порешать задания. Задания несложные, чисто для понимания смысла арифметической прогрессии.
Примеры заданий по арифметической прогрессии.
Разберём подробненько задание, что приведено выше:
1. Выпишите первые шесть членов арифметической прогрессии (a n), если a 2 = 5, d = -2,5.
Переводим задание на понятный язык. Дана бесконечная арифметическая прогрессия. Известен второе число этой прогрессии: a 2 = 5. Известна разность прогрессии: d = -2,5. Нужно найти первый, третий, четвёртый, пятый и шестой члены этой прогрессии.
Для наглядности запишу ряд по условию задачки. Первые шесть членов, где второй член - пятёрка:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....
a 3 = a 2 + d
Подставляем в выражение a 2 = 5 и d = -2,5 . Не забываем про минус!
a 3 =5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Третий член получился меньше второго. Всё логично. Если число больше предыдущего на отрицательную величину, значит само число получится меньше предыдущего. Прогрессия - убывающая. Ладно, учтём.) Считаем четвёртый член нашего ряда:
a 4 = a 3 + d
a 4 =2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5 =0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6 =-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Так, члены с третьего по шестой вычислили. Получился такой ряд:
a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....
Остаётся найти первый член a 1 по известному второму. Это шаг в другую сторону, влево.) Значит, разность арифметической прогрессии d надо не прибавить к a 2 , а отнять:
a 1 = a 2 - d
a 1 =5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Вот и все дела. Ответ задания:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Попутно замечу, что это задание мы решали рекуррентным способом. Это страшное слово означает, всего лишь, поиск члена прогрессии по предыдущему (соседнему) числу. Другие способы работы с прогрессией мы рассмотрим далее.
Из этого несложного задания можно сделать один важный вывод.
Запоминаем:
Если нам известен хотя бы один член и разность арифметической прогрессии, мы можем найти любой член этой прогрессии.
Запомнили? Этот несложный вывод позволяет решать большинство задач школьного курса по этой теме. Все задачи крутятся вокруг трёх главных параметров: член арифметической прогрессии, разность прогрессии, номер члена прогрессии. Всё.
Разумеется, вся предыдущая алгебра не отменяется.) К прогрессии прицепляются и неравенства, и уравнения, и прочие вещи. Но по самой прогрессии - всё крутится вокруг трёх параметров.
Для примера рассмотрим некоторые популярные задания по этой теме.
2. Запишите конечную арифметическую прогрессию в виде ряда, если n=5, d = 0,4, и a 1 = 3,6.
Здесь всё просто. Всё уже дано. Нужно вспомнить, как считаются члены арифметической прогрессии, посчитать, да и записать. Желательно не пропустить слова в условии задания: "конечную" и "n=5 ". Чтобы не считать до полного посинения.) В этой прогрессии всего 5 (пять) членов:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Остаётся записать ответ:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Ещё задание:
3. Определите, будет ли число 7 членом арифметической прогрессии (a n), если a 1 = 4,1; d = 1,2.
Хм... Кто ж его знает? Как определить-то?
Как-как... Да записать прогрессию в виде ряда и посмотреть, будет там семёрка, или нет! Считаем:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Сейчас чётко видно, что семёрку мы просто проскочили между 6,5 и 7,7! Не попала семёрка в наш ряд чисел, и, значит, семёрка не будет членом заданной прогрессии.
Ответ: нет.
А вот задачка на основе реального варианта ГИА:
4. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:
...; 15; х; 9; 6; ...
Здесь записан ряд без конца и начала. Нет ни номеров членов, ни разности d . Ничего страшного. Для решения задания достаточно понимать смысл арифметической прогрессии. Смотрим и соображаем, что можно узнать из этого ряда? Какие параметры из трёх главных?
Номера членов? Нет тут ни единого номера.
Зато есть три числа и - внимание! - слово "последовательных" в условии. Это значит, что числа идут строго по порядку, без пропусков. А есть ли в этом ряду два соседних известных числа? Да, есть! Это 9 и 6. Стало быть, мы можем вычислить разность арифметической прогрессии! От шестёрки отнимаем предыдущее число, т.е. девятку:
Остались сущие пустяки. Какое число будет предыдущим для икса? Пятнадцать. Значит, икс можно легко найти простым сложением. К 15 прибавить разность арифметической прогрессии:
Вот и всё. Ответ: х=12
Следующие задачки решаем самостоятельно. Замечание: эти задачки - не на формулы. Чисто на понимание смысла арифметической прогрессии.) Просто записываем ряд с числами-буквами, смотрим и соображаем.
5. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии, если a 5 = -3; d = 1,1.
6. Известно, что число 5,5 является членом арифметической прогрессии (a n), где a 1 = 1,6; d = 1,3. Определите номер n этого члена.
7. Известно, что в арифметической прогрессии a 2 = 4; a 5 = 15,1. Найдите a 3 .
8. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:
...; 15,6; х; 3,4; ...
Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.
9. Поезд начал движение от станции, равномерно увеличивая скорость на 30 метров в минуту. Какова будет скорость поезда через пять минут? Ответ дайте в км/час.
10. Известно, что в арифметической прогрессии a 2 = 5; a 6 = -5. Найдите a 1 .
Ответы (в беспорядке): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Всё получилось? Замечательно! Можно осваивать арифметическую прогрессию на более высоком уровне, в следующих уроках.
Не всё получилось? Не беда. В Особом разделе 555 все эти задачки разобраны по косточкам.) И, конечно, описан простой практический приём, который сразу высвечивает решение подобных заданий чётко, ясно, как на ладони!
Кстати, в задачке про поезд есть две проблемки, на которых часто спотыкается народ. Одна - чисто по прогрессии, а вторая - общая для любых задач по математике, да и физике тоже. Это перевод размерностей из одной в другую. В показано, как надо эти проблемы решать.
В этом уроке мы рассмотрели элементарный смысл арифметической прогрессии и её основные параметры. Этого достаточно для решения практически всех задач на эту тему. Прибавляй d к числам, пиши ряд, всё и решится.
Решение "на пальцах" хорошо подходит для очень коротких кусочков ряда, как в примерах этого урока. Если ряд подлиннее, вычисления усложняются. Например, если в задачке 9 в вопросе заменить "пять минут" на "тридцать пять минут", задачка станет существенно злее.)
А ещё бывают задания простые по сути, но несусветные по вычислениям, например:
Дана арифметическая прогрессия (a n). Найти a 121 , если a 1 =3, а d=1/6.
И что, будем много-много раз прибавлять по 1/6?! Это же убиться можно!?
Можно.) Если не знать простую формулу, по которой решать подобные задания можно за минуту. Эта формула будет в следующем уроке. И задачка эта там решена. За минуту.)
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
В чём главная суть формулы?
Эта формула позволяет найти любой ПО ЕГО НОМЕРУ "n" .
Разумеется, надо знать ещё первый член a 1 и разность прогрессии d , ну так без этих параметров конкретную прогрессию и не запишешь.
Заучить (или зашпаргалить) эту формулу мало. Надо усвоить её суть и поприменять формулу в различных задачках. Да ещё и не забыть в нужный момент, да...) Как не забыть - я не знаю. А вот как вспомнить, при необходимости, - точно подскажу. Тем, кто урок до конца осилит.)
Итак, разберёмся с формулой n-го члена арифметической прогрессии.
Что такое формула вообще - мы себе представляем.) Что такое арифметическая прогрессия, номер члена, разность прогресии - доступно изложено в предыдущем уроке. Загляните, кстати, если не читали. Там всё просто. Осталось разобраться, что такое n-й член.
Прогрессию в общем виде можно записать в виде ряда чисел:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 - обозначает первый член арифметической прогрессии, a 3 - третий член, a 4 - четвёртый, и так далее. Если нас интересует пятый член, скажем, мы работаем с a 5 , если сто двадцатый - с a 120 .
А как обозначить в общем виде любой член арифметической прогрессии, с любым номером? Очень просто! Вот так:
a n
Это и есть n-й член арифметической прогрессии. Под буквой n скрываются сразу все номера членов: 1, 2, 3, 4, и так далее.
И что нам даёт такая запись? Подумаешь, вместо цифры буковку записали...
Эта запись даёт нам мощный инструмент для работы с арифметической прогрессией. Используя обозначение a n , мы можем быстро найти любой член любой арифметической прогрессии. И ещё кучу задач по прогрессии решить. Сами дальше увидите.
В формуле n-го члена арифметической прогрессии:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1 - первый член арифметической прогрессии;
n - номер члена.
Формула связывает ключевые параметры любой прогрессии: a n ; a 1 ; d и n . Вокруг этих параметров и крутятся все задачки по прогрессии.
Формула n-го члена может использоваться и для записи конкретной прогрессии. Например, в задаче может быть сказано, что прогрессия задана условием:
a n = 5 + (n-1)·2.
Такая задачка может и в тупик поставить... Нет ни ряда, ни разности... Но, сравнивая условие с формулой, легко сообразить, что в этой прогрессии a 1 =5, а d=2.
А бывает ещё злее!) Если взять то же условие: a n = 5 + (n-1)·2, да раскрыть скобки и привести подобные? Получим новую формулу:
a n = 3 + 2n.
Это Только не общая, а для конкретной прогрессии. Вот здесь и таится подводный камень. Некоторые думают, что первый член - это тройка. Хотя реально первый член - пятёрка... Чуть ниже мы поработаем с такой видоизменённой формулой.
В задачах на прогрессию встречается ещё одно обозначение - a n+1 . Это, как вы догадались, "эн плюс первый" член прогрессии. Смысл его прост и безобиден.) Это член прогрессии, номер которого больше номера n на единичку. Например, если в какой-нибудь задаче мы берём за a n пятый член, то a n+1 будет шестым членом. И тому подобное.
Чаще всего обозначение a n+1 встречается в рекуррентных формулах. Не пугайтесь этого страшного слова!) Это просто способ выражения члена арифметической прогрессии через предыдущий. Допустим, нам дана арифметическая прогрессия вот в таком виде, с помощью рекуррентной формулы:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Четвёртый - через третий, пятый - через четвёртый, и так далее. А как посчитать сразу, скажем двадцатый член, a 20 ? А никак!) Пока 19-й член не узнаем, 20-й не посчитать. В этом и есть принципиальное отличие рекуррентной формулы от формулы n-го члена. Рекуррентная работает только через предыдущий член, а формула n-го члена - через первый и позволяет сразу находить любой член по его номеру. Не просчитывая весь ряд чисел по порядочку.
В арифметической прогрессии рекуррентную формулу легко превратить в обычную. Посчитать пару последовательных членов, вычислить разность d, найти, если надо, первый член a 1 , записать формулу в обычном виде, да и работать с ней. В ГИА подобные задания частенько встречаются.
Применение формулы n-го члена арифметической прогрессии.
Для начала рассмотрим прямое применение формулы. В конце предыдущего урока была задачка:
Дана арифметическая прогрессия (a n). Найти a 121 , если a 1 =3, а d=1/6.
Эту задачку можно безо всяких формул решить, просто исходя из смысла арифметической прогрессии. Прибавлять, да прибавлять... Часок-другой.)
А по формуле решение займёт меньше минуты. Можете засекать время.) Решаем.
В условиях приведены все данные для использования формулы: a 1 =3, d=1/6. Остаётся сообразить, чему равно n. Не вопрос! Нам надо найти a 121 . Вот и пишем:
Прошу обратить внимание! Вместо индекса n появилось конкретное число: 121. Что вполне логично.) Нас интересует член арифметической прогрессии номер сто двадцать один. Вот это и будет наше n. Именно это значение n = 121 мы и подставим дальше в формулу, в скобки. Подставляем все числа в формулу и считаем:
a 121 = 3 + (121-1)·1/6 = 3+20 = 23
Вот и все дела. Так же быстро можно было бы найти и пятьсот десятый член, и тысяча третий, любой. Ставим вместо n нужный номер в индексе у буквы "a" и в скобках, да и считаем.
Напомню суть: эта формула позволяет найти любой член арифметической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ "n" .
Решим задание похитрее. Пусть нам попалась такая задачка:
Найдите первый член арифметической прогрессии (a n), если a 17 =-2; d=-0,5.
Если возникли затруднения, подскажу первый шаг. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии! Да-да. Руками запишите, прямо в тетрадке:
| a n = a 1 + (n-1)d |
А теперь, глядя на буквы формулы, соображаем, какие данные у нас есть, а чего не хватает? Имеется d=-0,5, имеется семнадцатый член... Всё? Если считаете, что всё, то задачу не решите, да...
У нас ещё имеется номер n ! В условии a 17 =-2 спрятаны два параметра. Это и значение семнадцатого члена (-2), и его номер (17). Т.е. n=17. Эта "мелочь" часто проскакивает мимо головы, а без неё, (без "мелочи", а не головы!) задачу не решить. Хотя... и без головы тоже.)
Теперь можно просто тупо подставить наши данные в формулу:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Ах да, a 17 нам известно, это -2. Ну ладно, подставим:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Вот, в сущности, и всё. Осталось выразить первый член арифметической прогрессии из формулы, да посчитать. Получится ответ: a 1 = 6.
Такой приём - запись формулы и простая подстановка известных данных - здорово помогает в простых заданиях. Ну, надо, конечно, уметь выражать переменную из формулы, а что делать!? Без этого умения математику можно вообще не изучать...
Ещё одна популярная задачка:
Найдите разность арифметической прогрессии (a n), если a 1 =2; a 15 =12.
Что делаем? Вы удивитесь, пишем формулу!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Соображаем, что нам известно: a 1 =2; a 15 =12; и (специально выделю!) n=15. Смело подставляем в формулу:
12=2 + (15-1)d
Считаем арифметику.)
12=2 + 14d
d =10/14 = 5/7
Это правильный ответ.
Так, задачи на a n , a 1 и d порешали. Осталось научиться номер находить:
Число 99 является членом арифметической прогрессии (a n), где a 1 =12; d=3. Найти номер этого члена.
Подставляем в формулу n-го члена известные нам величины:
a n = 12 + (n-1)·3
На первый взгляд, здесь две неизвестные величины: a n и n. Но a n - это какой-то член прогрессии с номером n ... И этот член прогрессии мы знаем! Это 99. Мы не знаем его номер n, так этот номер и требуется найти. Подставляем член прогрессии 99 в формулу:
99 = 12 + (n-1)·3
Выражаем из формулы n , считаем. Получим ответ: n=30.
А теперь задачка на ту же тему, но более творческая):
Определите, будет ли число 117 членом арифметической прогрессии (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Опять пишем формулу. Что, нет никаких параметров? Гм... А глазки нам зачем дадены?) Первый член прогрессии видим? Видим. Это -3,6. Можно смело записать: a 1 =-3,6. Разность d можно из ряда определить? Легко, если знаете, что такое разность арифметической прогрессии:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Так, самое простое сделали. Осталось разобраться с неизвестным номером n и непонятным числом 117. В предыдущей задачке хоть было известно, что дан именно член прогрессии. А здесь и того не знаем... Как быть!? Ну, как быть, как быть... Включить творческие способности!)
Мы предположим, что 117 - это, всё-таки, член нашей прогрессии. С неизвестным номером n . И, точно как в предыдущей задаче, попробуем найти этот номер. Т.е. пишем формулу (да-да!)) и подставляем наши числа:
117 = -3,6 + (n-1)·1,2
Опять выражаем из формулы n , считаем и получаем:
Опаньки! Номер получился дробный! Сто один с половиной. А дробных номеров в прогрессиях не бывает. Какой вывод сделаем? Да! Число 117 не является членом нашей прогрессии. Оно находится где-то между сто первым и сто вторым членом. Если бы номер получился натуральным, т.е. положительным целым, то число было бы членом прогрессии с найденным номером. А в нашем случае, ответ задачи будет: нет.
Задача на основе реального варианта ГИА:
Арифметическая прогрессия задана условием:
a n = -4 + 6,8n
Найти первый и десятый члены прогрессии.
Здесь прогрессия задана не совсем привычным образом. Формула какая-то... Бывает.) Однако, эта формула (как я писал выше) - тоже формула n-го члена арифметической прогрессии! Она тоже позволяет найти любой член прогрессии по его номеру.
Ищем первый член. Тот, кто думает. что первый член - минус четыре, фатально ошибается!) Потому, что формула в задаче - видоизменённая. Первый член арифметической прогрессии в ней спрятан. Ничего, сейчас отыщем.)
Так же, как и в предыдущих задачах, подставляем n=1 в данную формулу:
a 1 = -4 + 6,8·1 = 2,8
Вот! Первый член 2,8, а не -4!
Аналогично ищем десятый член:
a 10 = -4 + 6,8·10 = 64
Вот и все дела.
А теперь, тем кто дочитал до этих строк, - обещанный бонус.)
Предположим, в сложной боевой обстановке ГИА или ЕГЭ, вы подзабыли полезную формулу n-го члена арифметической прогрессии. Что-то припоминается, но неуверенно как-то... То ли n там, то ли n+1, то ли n-1... Как быть!?
Спокойствие! Эту формулку легко вывести. Не очень строго, но для уверенности и правильного решения точно хватит!) Для вывода достаточно помнить элементарный смысл арифметической прогрессии и иметь пару-тройку минут времени. Нужно просто нарисовать картинку. Для наглядности.
Рисуем числовую ось и отмечаем на ней первый. второй, третий и т.п. члены. И отмечаем разность d между членами. Вот так:
Смотрим на картинку и соображаем: чему равняется второй член? Второй одно d :
a 2 =a 1 +1 ·d
Чему равняется третий член? Третий член равняется первый член плюс два d .
a 3 =a 1 +2 ·d
Улавливаете? Я не зря некоторые слова выделяю жирным шрифтом. Ну ладно, ещё один шаг).
Чему равняется четвёртый член? Четвёртый член равняется первый член плюс три d .
a 4 =a 1 +3 ·d
Пора сообразить, что количество промежутков, т.е. d , всегда на один меньше, чем номер искомого члена n . Т.е., до номера n, количество промежутков будет n-1. Стало быть, формула будет (без вариантов!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Вообще, наглядные картинки очень помогают решать многие задачи в математике. Не пренебрегайте картинками. Но если уж картинку нарисовать затруднительно, то... только формула!) Кроме того, формула n-го члена позволяет подключить к решению весь мощный арсенал математики - уравнения, неравенства, системы и т.д. Картинку-то в уравнение не вставишь...
Задания для самостоятельного решения.
Для разминки:
1. В арифметической прогрессии (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Найти a 3 .
Подсказка: по картинке задача решается секунд за 20... По формуле - сложнее получается. Но для освоения формулы - полезнее.) В Разделе 555 эта задачка решена и по картинке, и по формуле. Почувствуйте разницу!)
А это - уже не разминка.)
2. В арифметической прогрессии (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Найти a 3 .
Что, неохота картинку рисовать?) Ещё бы! Уж лучше по формуле, да...
3. Арифметическая прогрессия задана условием: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Найдите сто двадцать пятый член этой прогрессии.
В этом задании прогрессия задана рекуррентным способом. Но считать до сто двадцать пятого члена... Не всем такой подвиг под силу.) Зато формула n-го члена по силам каждому!
4. Дана арифметическая прогрессия (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Найти номер наименьшего положительного члена прогрессии.
5. По условию задания 4 найти сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного членов прогрессии.
6. Произведение пятого и двенадцатого членов возрастающей арифметической прогрессии равно -2,5, а сумма третьего и одиннадцатого членов равна нулю. Найти a 14 .
Не самая простая задачка, да...) Здесь способ "на пальцах" не прокатит. Придётся формулы писать да уравнения решать.
Ответы (в беспорядке):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Получилось? Это приятно!)
Не всё получается? Бывает. Кстати, в последнем задании есть один тонкий момент. Внимательность при чтении задачи потребуется. И логика.
Решение всех этих задач подробно разобрано в Разделе 555. И элемент фантазии для четвёртой, и тонкий момент для шестой, и общие подходы для решения всяких задач на формулу n-го члена - всё расписано. Рекомендую.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Или арифметическая - это вид упорядоченной числовой последовательности, свойства которой изучают в школьном курсе алгебры. В данной статье подробно рассмотрен вопрос, как найти сумму арифметической прогрессии.
Что это за прогрессия?
Прежде чем переходить к рассмотрению вопроса (как найти сумму арифметической прогрессии), стоит понять, о чем пойдет речь.
Любая последовательность действительных чисел, которая получается путем добавления (вычитания) некоторого значения из каждого предыдущего числа, называется алгебраической (арифметической) прогрессией. Это определение в переводе на язык математики принимает форму:
Здесь i - порядковый номер элемента ряда a i . Таким образом, зная всего одно начальное число, можно с легкостью восстановить весь ряд. Параметр d в формуле называется разностью прогрессии.
Можно легко показать, что для рассматриваемого ряда чисел выполняется следующее равенство:
a n = a 1 + d * (n - 1).
То есть для нахождения значения n-го по порядку элемента следует n-1 раз добавить разность d к первому элементу a 1 .
Чему равна сумма арифметической прогрессии: формула
Прежде чем приводить формулу для указанной суммы, стоит рассмотреть простой частный случай. Дана прогрессия натуральных чисел от 1 до 10, необходимо найти их сумму. Поскольку членов в прогрессии немного (10), то можно решить задачу в лоб, то есть просуммировать все элементы по порядку.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Стоит учесть одну интересную вещь: поскольку каждый член отличается от последующего на одно и то же значение d = 1, то попарное суммирование первого с десятым, второго с девятым и так далее даст одинаковый результат. Действительно:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Как видно, этих сумм всего 5, то есть ровно в два раза меньше, чем число элементов ряда. Тогда умножая число сумм (5) на результат каждой суммы (11), вы придете к полученному в первом примере результату.
Если обобщить эти рассуждения, то можно записать следующее выражение:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Это выражение показывает, что совсем не обязательно суммировать подряд все элементы, достаточно знать значение первого a 1 и последнего a n , а также общего числа слагаемых n.
Считается, что впервые до этого равенства додумался Гаусс, когда искал решение на заданную его школьным учителем задачу: просуммировать 100 первых целых чисел.
Сумма элементов от m до n: формула
Формула, приведенная в предыдущем пункте, дает ответ на вопрос, как найти сумму арифметической прогрессии (первых элементов), но часто в задачах необходимо просуммировать ряд чисел, стоящих в середине прогрессии. Как это сделать?
Ответить на этот вопрос проще всего, рассматривая следующий пример: пусть необходимо найти сумму членов от m-го до n-го. Для решения задачи следует представить заданный отрезок от m до n прогрессии в виде нового числового ряда. В таком представлении m-й член a m будет первым, а a n станет под номер n-(m-1). В этом случае, применяя стандартную формулу для суммы, получится следующее выражение:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Пример использования формул
Зная, как найти сумму арифметической прогрессии, стоит рассмотреть простой пример использования приведенных формул.
Ниже дана числовая последовательность, следует найти сумму ее членов, начиная с 5-го и заканчивая 12-м:
Приведенные числа свидетельствуют, что разность d равна 3. Используя выражение для n-го элемента, можно найти значения 5-го и 12-го членов прогрессии. Получается:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Зная значения чисел, стоящих на концах рассматриваемой алгебраической прогрессии, а также зная, какие номера в ряду они занимают, можно воспользоваться формулой для суммы, полученной в предыдущем пункте. Получится:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Стоит отметить, что это значение можно было получить иначе: сначала найти сумму первых 12 элементов по стандартной формуле, затем вычислить сумму первых 4 элементов по той же формуле, после этого вычесть из первой суммы вторую.
Сумма арифметической прогрессии.
Сумма арифметической прогрессии - штука простая. И по смыслу, и по формуле. Но задания по этой теме бывают всякие. От элементарных до вполне солидных.
Сначала разберёмся со смыслом и формулой суммы. А потом и порешаем. В своё удовольствие.) Смысл суммы прост, как мычание. Чтобы найти сумму арифметической прогрессии надо просто аккуратно сложить все её члены. Если этих членов мало, можно складывать безо всяких формул. Но если много, или очень много... сложение напрягает.) В этом случае спасает формула.
Формула суммы выглядит просто:
Разберёмся, что за буковки входят в формулу. Это многое прояснит.
S n - сумма арифметической прогрессии. Результат сложения всех членов, с первого по последний. Это важно. Складываются именно все члены подряд, без пропусков и перескоков. И, именно, начиная с первого. В задачках, типа найти сумму третьего и восьмого членов, или сумму членов с пятого по двадцатый - прямое применение формулы разочарует.)
a 1 - первый член прогрессии. Здесь всё понятно, это просто первое число ряда.
a n - последний член прогрессии. Последнее число ряда. Не очень привычное название, но, в применении к сумме, очень даже годится. Дальше сами увидите.
n - номер последнего члена. Важно понимать, что в формуле этот номер совпадает с количеством складываемых членов.
Определимся с понятием последнего члена a n . Вопрос на засыпку: какой член будет последним, если дана бесконечная арифметическая прогрессия?)
Для уверенного ответа нужно понимать элементарный смысл арифметической прогрессии и... внимательно читать задание!)
В задании на поиск суммы арифметической прогрессии всегда фигурирует (прямо или косвенно) последний член, которым следует ограничиться. Иначе конечной, конкретной суммы просто не существует. Для решения не суть важно, какая задана прогрессия: конечная, или бесконечная. Не суть важно, как она задана: рядом чисел, или формулой n-го члена.
Самое главное - понимать, что формула работает с первого члена прогрессии до члена c номером n. Собственно, полное название формулы выглядит вот так: сумма n первых членов арифметической прогрессии. Количество этих самых первых членов, т.е. n , определяется исключительно заданием. В задании вся эта ценная информация частенько зашифровывается, да... Но ничего, в примерах ниже мы эти секреты пораскрываем.)
Примеры заданий на сумму арифметической прогрессии.
Прежде всего, полезная информация:
Основная сложность в заданиях на сумму арифметической прогрессии заключается в правильном определении элементов формулы.
Эти самые элементы составители заданий шифруют с безграничной фантазией.) Здесь главное - не бояться. Понимая суть элементов, достаточно просто их расшифровать. Разберём подробно несколько примеров. Начнём с задания на основе реального ГИА.
1. Арифметическая прогрессия задана условием: a n = 2n-3,5. Найдите сумму первых 10 её членов.
Хорошее задание. Лёгкое.) Нам для определения суммы по формуле чего надо знать? Первый член a 1 , последний член a n , да номер последнего члена n.
Где взять номер последнего члена n ? Да там же, в условии! Там сказано: найти сумму первых 10 членов. Ну и с каким номером будет последний, десятый член?) Вы не поверите, его номер - десятый!) Стало быть, вместо a n в формулу будем подставлять a 10 , а вместо n - десятку. Повторю, номер последнего члена совпадает с количеством членов.
Осталось определить a 1 и a 10 . Это легко считается по формуле n-го члена, которая дана в условии задачи. Не знаете, как это сделать? Посетите предыдущий урок, без этого - никак.
a 1 = 2·1 - 3,5 = -1,5
a 10 =2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10 .
Мы выяснили значение всех элементов формулы суммы арифметической прогрессии. Остаётся подставить их, да посчитать:
Вот и все дела. Ответ: 75.
Ещё задание на основе ГИА. Чуть посложнее:
2. Дана арифметическая прогрессия (a n), разность которой равна 3,7; a 1 =2,3. Найти сумму первых 15 её членов.
Сразу пишем формулу суммы:
Эта формулка позволяет нам найти значение любого члена по его номеру. Ищем простой подстановкой:
a 15 = 2,3 + (15-1)·3,7 = 54,1
Осталось подставить все элементы в формулу суммы арифметической прогрессии и посчитать ответ:
Ответ: 423.
Кстати, если в формулу суммы вместо a n просто подставим формулу n-го члена, получим:
Приведём подобные, получим новую формулу суммы членов арифметической прогрессии:
 |
Как видим, тут не требуется n-й член a n . В некоторых задачах эта формула здорово выручает, да... Можно эту формулу запомнить. А можно в нужный момент её просто вывести, как здесь. Ведь формулу суммы и формулу n-го члена всяко надо помнить.)
Теперь задание в виде краткой шифровки):
3. Найти сумму всех положительных двузначных чисел, кратных трём.
Во как! Ни тебе первого члена, ни последнего, ни прогрессии вообще... Как жить!?
Придётся думать головой и вытаскивать из условия все элементы суммы арифметической прогрессии. Что такое двузначные числа - знаем. Из двух циферок состоят.) Какое двузначное число будет первым ? 10, надо полагать.) А последнее двузначное число? 99, разумеется! За ним уже трёхзначные пойдут...
Кратные трём... Гм... Это такие числа, которые делятся на три нацело, вот! Десятка не делится на три, 11 не делится... 12... делится! Так, кое-что вырисовывается. Уже можно записать ряд по условию задачи:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Будет ли этот ряд арифметической прогрессией? Конечно! Каждый член отличается от предыдущего строго на тройку. Если к члену прибавить 2, или 4, скажем, результат, т.е. новое число, уже не поделится нацело на 3. До кучи можно сразу и разность арифметической прогрессии определить: d = 3. Пригодится!)
Итак, можно смело записать кое-какие параметры прогрессии:
А какой будет номер n последнего члена? Тот, кто думает, что 99 - фатально заблуждается... Номера - они всегда подряд идут, а члены у нас - через тройку перескакивают. Не совпадают они.
Тут два пути решения. Один путь - для сверхтрудолюбивых. Можно расписать прогрессию, весь ряд чисел, и посчитать пальчиком количество членов.) Второй путь - для вдумчивых. Нужно вспомнить формулу n-го члена. Если формулу применить к нашей задаче, получим, что 99 - это тридцатый член прогрессии. Т.е. n = 30.
Смотрим на формулу суммы арифметической прогрессии:
Смотрим, и радуемся.) Мы вытащили из условия задачи всё необходимое для расчёта суммы:
a 1 = 12.
a 30 = 99.
S n = S 30 .
Остаётся элементарная арифметика. Подставляем числа в формулу и считаем:
Ответ: 1665
Ещё один тип популярных задачек:
4. Дана арифметическая прогрессия:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Найти сумму членов с двадцатого по тридцать четвёртый.
Смотрим на формулу суммы и... огорчаемся.) Формула, напомню, считает сумму с первого члена. А в задаче нужно считать сумму с двадцатого... Не сработает формула.
Можно, конечно, расписать всю прогрессию в ряд, да поскладывать члены с 20 по 34. Но... как-то тупо и долго получается, правда?)
Есть более элегантное решение. Разобьём наш ряд на две части. Первая часть будет с первого члена по девятнадцатый. Вторая часть - с двадцатого по тридцать чётвёртый. Понятно, что если мы посчитаем сумму членов первый части S 1-19 , да сложим с суммой членов второй части S 20-34 , получим сумму прогрессии с первого члена по тридцать четвёртый S 1-34 . Вот так:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Отсюда видно, что найти сумму S 20-34 можно простым вычитанием
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Обе суммы в правой части считаются с первого члена, т.е. к ним вполне применима стандартная формула суммы. Приступаем?
Вытаскиваем из условия задачи парметры прогрессии:
d = 1,5.
a 1 = -21,5.
Для расчёта сумм первых 19 и первых 34 членов нам нужны будут 19-й и 34-й члены. Считаем их по формуле n-го члена, как в задаче 2:
a 19 = -21,5 +(19-1)·1,5 = 5,5
a 34 = -21,5 +(34-1)·1,5 = 28
Остаётся всего ничего. От суммы 34 членов отнять сумму 19 членов:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Ответ: 262,5
Одно важное замечание! В решении этой задачи имеется очень полезная фишка. Вместо прямого расчёта того, что нужно (S 20-34), мы посчитали то, что, казалось бы, не нужно - S 1-19 . А уж потом определили и S 20-34 , отбросив от полного результата ненужное. Такой "финт ушами" частенько спасает в злых задачках.)
В этом уроке мы рассмотрели задачи, для решения которых достаточно понимать смысл суммы арифметической прогрессии. Ну и пару формул знать надо.)
Практический совет:
При решении любой задачи на сумму арифметической прогрессии рекомендую сразу выписывать две главные формулы из этой темы.
Формулу n-го члена:
Эти формулы сразу подскажут, что нужно искать, в каком направлении думать, чтобы решить задачу. Помогает.
А теперь задачи для самостоятельного решения.
5. Найти сумму всех двузначных чисел, которые не делятся нацело на три.
Круто?) Подсказка скрыта в замечании к задаче 4. Ну и задачка 3 поможет.
6. Арифметическая прогрессия задана условием: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Найдите сумму первых 24 её членов.
Непривычно?) Это рекуррентная формула. Про неё можно прочитать в предыдущем уроке. Не игнорируйте ссылку, такие задачки в ГИА частенько встречаются.
7. Вася накопил к Празднику денег. Целых 4550 рублей! И решил подарить самому любимому человеку (себе) несколько дней счастья). Пожить красиво, ни в чём себе не отказывая. Потратить в первый день 500 рублей, а в каждый последующий день тратить на 50 рублей больше, чем в предыдущий! Пока не кончится запас денег. Сколько дней счастья получилось у Васи?
Сложно?) Поможет дополнительная формула из задачи 2.
Ответы (в беспорядке): 7, 3240, 6.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Теоретические сведения
Теоретические сведения
Арифметическая прогрессия |
Геометрическая прогрессия |
|
Определение |
Арифметической прогрессией a n называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d (d - разность прогрессий) |
Геометрической прогрессией b n называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже число q (q - знаменатель прогрессии) |
Рекуррентная формула |
Для любого натурального n
|
Для любого натурального n
|
Формула n-ого члена |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Характеристическое свойство |  |
|
| Сумма n-первых членов |  |
 |
Примеры заданий с комментариями
Задание 1
В арифметической прогрессии (a n ) a 1 = -6, a 2
По формуле n-ого члена:
a 22 = a 1 + d (22 - 1) = a 1 + 21 d
По условию:
a 1 = -6, значит a 22 = -6 + 21 d .
Необходимо найти разность прогрессий:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Ответ : a 22 = -48.
Задание 2
Найдите пятый член геометрической прогрессии: -3; 6;....
1-й способ (с помощью формулы n -члена)
По формуле n-ого члена геометрической прогрессии:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4 .
Так как b 1 = -3,
2-й способ (с помощью рекуррентной формулы)
Так как знаменатель прогрессии равен -2 (q = -2), то:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Ответ : b 5 = -48.
Задание 3
В арифметической прогрессии (a n ) a 74 = 34; a 76 = 156. Найдите семьдесят пятый член этой прогрессии.
Для арифметической прогрессии характеристическое свойство имеет вид 
.
Из этого следует:
.
Подставим данные в формулу:
Ответ : 95.
Задание 4
В арифметической прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Найдите сумму семнадцати первых членов.
Для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии используют две формулы:
.
Какую из них в данном случае удобнее применять?
По условию известна формула n-ого члена исходной прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Можно найти сразу и a 1 , и a 16 без нахождения d . Поэтому воспользуемся первой формулой.
Ответ : 368.
Задание 5
В арифметической прогрессии(a n ) a 1 = -6; a 2 = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.
По формуле n-ого члена:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1 + 21d .
По условию, если a 1 = -6, то a 22 = -6 + 21d . Необходимо найти разность прогрессий:
d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Ответ : a 22 = -48.
Задание 6
Записаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии:
Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .
При решении воспользуемся формулой n-го члена b n = b 1 ∙ q n - 1 для геометрических прогрессий. Первый член прогрессии. Чтобы найти знаменатель прогрессии q необходимо взять любой из данных членов прогрессии и разделить на предыдущий. В нашем примере можно взять и разделить на. Получим, что q = 3. Вместо n в формулу подставим 3, так как необходимо найти третий член, заданной геометрической прогрессии.
Подставив найденные значения в формулу, получим:
.
Ответ : .
Задание 7
Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a 27 > 9:
Так как заданное условие должно выполняться для 27-го члена прогрессии, подставим 27 вместо n в каждую из четырех прогрессий. В 4-й прогрессии получим:
.
Ответ : 4.
Задание 8
В арифметической прогрессии a 1 = 3, d = -1,5. Укажите наибольшее значение n , для которого выполняется неравенство a n > -6.
