Главная Методы лечения и диагностики Средняя величина и формула средней арифметической. Определение среднего значения, вариации и формы распределения. Описательные статистики

Средняя величина и формула средней арифметической. Определение среднего значения, вариации и формы распределения. Описательные статистики

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средняя величина это:

1) наиболее типичное для совокупности значение признака;

2) объем признака совокупности, распределенный поровну между единицами совокупности.

Признак, для которого рассчитывается средняя величина, в статистике называется «осредняемый».

Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Так, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т.е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики совокупности.

Важно отметить, что в процессе осреднения совокупное значение уровней признака или конечное его значение (в случае расчета средних уровней в ряду динамики) должно оставаться неизменным. Другими словами, при расчете средней величины объем исследуемого признака не должен быть искажен, и выражения, составляемые при расчетах средней, обязательно должны иметь смысл.

Вычисление среднего – один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отрицает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей.

Для того, чтобы средний показатель был действительно типизирующим, он должен рассчитываться с учетом определенных принципов.

Остановимся на некоторых общих принципах применения средних величин.

1. Средняя должна определяться для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц.

2. Средняя должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц.

3. Средняя должна рассчитываться для совокупности, единицы которой находятся в нормальном, естественном состоянии.

4. Средняя должна вычисляться с учетом экономического содержания исследуемого показателя.

5.2. Виды средних и способы их вычисления

Рассмотрим теперь виды средних величин, особенности их исчисления и области применения. Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние, структурные средние.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.

В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

Остановимся на степенных средних. Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

где X i – варианта (значение) осредняемого признака;

n – число вариант.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид

где X i – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

m – показатель степени средней;

f i – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.

Виды степенных средних

Вид степенной средней	Показатель степени (m)	Формула расчета
Вид степенной средней	Показатель степени (m)	Простая	Взвешенная
Гармоническая
Геометрическая
Арифметическая
Квадратическая
Кубическая

Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

Главное требование к формуле расчета среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым. Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины. Покажем это правило на примере средней геометрической.

Формула средней геометрической

используется чаще всего при расчете среднего значения по индивидуальным относительным величинам динамики.

Средняя геометрическая применяется, если задана последовательность цепных относительных величин динамики, указывающих, например, на рост объема производства по сравнению с уровнем предыдущего года: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n . Очевидно, что объем производства в последнем году определяется начальным его уровнем (q 0) и последующим наращиванием по годам:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .

Приняв q n в качестве определяющего показателя и заменяя индивидуальные значения показателей динамики средними, приходим к соотношению

Отсюда

Особый вид средних величин – структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен (например, если бы в рассмотренном примере отсутствовали данные и об объеме производства, и о сумме затрат по группам предприятий).

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды – наиболее часто повторяющегося значения признака – и медианы – величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой – не меньше его.

Если изучаемый признак имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. Если же данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько усложняется. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:

где X Me – нижняя граница медианного интервала;

h Me – его величина;

(Sum m)/2 – половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении);

S Me-1 – сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;

m Me – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также в абсолютном либо относительном выражении).

При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы были одинаковыми, поскольку от этого зависит показатель повторяемости значений признака X. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как

где Х Mo – нижнее значение модального интервала;

m Mo – число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале (в абсолютном либо относительном выражении);

m Mo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному;

m Mo+1 – то же для интервала, следующего за модальным;

h – величина интервала изменения признака в группах.

ЗАДАЧА 1

Имеются следующие данные по группе промышленных предприятий за отчетный год

№ предприятия	Объем продукции, млн. руб.		Среднесписочное число работников, чел.	Прибыль, тыс. руб.
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Требуется выполнить группировку предприятий по обмену продукции, приняв следующие интервалы:

до 200 млн. руб.

от 200 до 400 млн. руб.

от 400 до 600 млн. руб.

По каждой группе и по всем вместе определить число предприятий, объем продукции, среднесписочное число работников, среднюю выработку продукции на одного работника. Результаты группировки представить в виде статистической таблицы. Сформулировать вывод.

РЕШЕНИЕ

Произведем группировку предприятий по обмену продукции, расчет числа предприятий, объема продукции, среднесписочного числа работников по формуле простой средней. Результаты группировки и расчетов сводим в таблицу.

Группы по объему продукции	№ предприятия	Объем продукции, млн. руб.	Среднегодовая стоимость основных средств, млн. руб.	Среднеспи сочное число работников, чел.	Прибыль, тыс. руб.	Средняя выработка продукции на одного работника
1 группа до 200 млн. руб.	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
			28,2	2567	74,8	0,23
Средний уровень		198,3			24,9
2 группа от 200 до 400 млн. руб.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
Средний уровень		282,3	37,6	1530	64,0
3 группа от 400 до 600 млн.	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
		3590	240,8	9974	846,5	0,36
Средний уровень		512,9	34,4	1421	120,9
Всего по совокупности		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
В среднем по совокупности		379,6	59,9	1223,6	79,5

Вывод. Таким образом, в рассматриваемой совокупности наибольшее число предприятий по объему продукции попало в третью группу – семь, или половина предприятий. Величина среднегодовой стоимости основных средств также в данной группе, как и большая величина среднесписочного числа работников – 9974 человек, наименее прибыльны предприятия первой группы.

ЗАДАЧА 2

Имеются следующие данные по предприятиям фирмы

Номер предприятия, входящего в фирму	I квартал	II квартал
	Выпуск продукции, тыс. руб.	Отработано рабочими человеко-дней	Средняя выработка на одного рабочего в день, руб.
	59390,13

В большинстве случаев данные концентрируются вокруг некоей центральной точки. Таким образом, чтобы описать любой набор данных, достаточно указать средне значение. Рассмотрим последовательно три числовые характеристики, которые используются для оценки среднего значения распределения: среднее арифметическое, медиана и мода.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое (часто называемое просто средним) - наиболее распространенная оценка среднего значения распределения. Она является результатом деления суммы всех наблюдаемых числовых величин на их количество. Для выборки, состоящей из чисел Х 1 , Х 2 , …, Х n , выборочное среднее (обозначаемое символом ) равно = (Х 1 + Х 2 + … + Х n ) / n , или

где - выборочное среднее, n - объем выборки, X i – i-й элемент выборки.

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Рассмотрим вычисление среднего арифметического значения пятилетней среднегодовой доходности 15 взаимных фондов с очень высоким уровнем риска (рис. 1).

Рис. 1. Среднегодовая доходность 15 взаимных фондов с очень высоким уровнем риска

Выборочное среднее вычисляется следующим образом:

Это хороший доход, особенно по сравнению с 3–4% дохода, который получили вкладчики банков или кредитных союзов за тот же период времени. Если упорядочить значения доходности, то легко заметить, что восемь фондов имеют доходность выше, а семь - ниже среднего значения. Среднее арифметическое играет роль точки равновесия, так что фонды с низкими доходами уравновешивают фонды с высокими доходами. В вычислении среднего задействованы все элементы выборки. Ни одна из других оценок среднего значения распределения не обладает этим свойством.

Когда следует вычислять среднее арифметическое. Поскольку среднее арифметическое зависит от всех элементов выборки, наличие экстремальных значений значительно влияет на результат. В таких ситуациях среднее арифметическое может исказить смысл числовых данных. Следовательно, описывая набор данных, содержащий экстремальные значения, необходимо указывать медиану либо среднее арифметическое и медиану. Например, если удалить из выборки доходность фонда RS Emerging Growth, выборочное среднее доходности 14 фондов уменьшится почти на 1% и составит 5,19%.

Медиана

Медиана представляет собой срединное значение упорядоченного массива чисел. Если массив не содержит повторяющихся чисел, то половина его элементов окажется меньше, а половина - больше медианы. Если выборка содержит экстремальные значения, для оценки среднего значения лучше использовать не среднее арифметическое, а медиану. Чтобы вычислить медиану выборки, ее сначала необходимо упорядочить.

Эта формула неоднозначна. Ее результат зависит от четности или нечетности числа n :

Если выборка содержит нечетное количество элементов, медиана равна (n+1)/2 -му элементу.
Если выборка содержит четное количество элементов, медиана лежит между двумя средними элементами выборки и равна среднему арифметическому, вычисленному по этим двум элементам.

Чтобы вычислить медиану выборки, содержащей данные о доходности 15 взаимных фондов с очень высокий уровнем риска, сначала необходимо упорядочить исходные данные (рис. 2). Тогда медиана будет напротив номера среднего элемента выборки; в нашем примере №8. В Excel есть специальная функция =МЕДИАНА(), которая работает и с неупорядоченными массивами тоже.

Рис. 2. Медиана 15 фондов

Таким образом, медиана равна 6,5. Это означает, что доходность одной половины фондов с очень высоким уровнем риска не превышает 6,5, а доходность второй половины - превышает ее. Обратите внимание на то, что медиана, равная 6,5, ненамного больше среднего значения, равного 6,08.

Если удалить из выборки доходность фонда RS Emerging Growth, то медиана оставшихся 14 фондов уменьшится до 6,2%, то есть не так значительно, как среднее арифметическое (рис. 3).

Рис. 3. Медиана 14 фондов

Мода

Термин был впервые введен Пирсоном в 1894 г. Мода - это число, которое чаще других встречается в выборке (наиболее модное). Мода хорошо описывает, например, типичную реакцию водителей на сигнал светофора о прекращении движения. Классический пример использования моды - выбор размера выпускаемой партии обуви или цвета обоев. Если распределение имеет несколько мод, то говорят, что оно мультимодально или многомодально (имеет два или более «пика»). Мультимодальность распределения дает важную информацию о природе исследуемой переменной. Например, в социологических опросах, если переменная представляет собой предпочтение или отношение к чему-то, то мультимодальность может означать, что существуют несколько определенно различных мнений. Мультимодальность также служит индикатором того, что выборка не является однородной и наблюдения, возможно, порождены двумя или более «наложенными» распределениями. В отличие от среднего арифметического, выбросы на моду не влияют. Для непрерывно распределенных случайных величин, например, для показателей среднегодовой доходности взаимных фондов, мода иногда вообще не существует (или не имеет смысла). Поскольку эти показатели могут принимать самые разные значения, повторяющиеся величины встречаются крайне редко.

Квартили

Квартили - это показатели, которые чаще всего используются для оценки распределения данных при описании свойств больших числовых выборок. В то время как медиана разделяет упорядоченный массив пополам (50% элементов массива меньше медианы и 50% - больше), квартили разбивают упорядоченный набор данных на четыре части. Величины Q 1 , медиана и Q 3 являются 25-м, 50-м и 75-м перцентилем соответственно. Первый квартиль Q 1 - это число, разделяющее выборку на две части: 25% элементов меньше, а 75% - больше первого квартиля.

Третий квартиль Q 3 - это число, разделяющее выборку также на две части: 75% элементов меньше, а 25% - больше третьего квартиля.

Для расчета квартилей в версиях Excel до 2007 г. использовалась функция =КВАРТИЛЬ(массив;часть). Начиная с версии Excel2010 применяются две функции:

=КВАРТИЛЬ.ВКЛ(массив;часть)
=КВАРТИЛЬ.ИСКЛ(массив;часть)

Эти две функции дают немного различные значения (рис. 4). Например, при вычислении квартилей выборки, содержащей данные о среднегодовой доходности 15 взаимных фондов с очень высоким уровнем риска Q 1 = 1,8 или –0,7 для КВАРТИЛЬ.ВКЛ и КВАРТИЛЬ.ИСКЛ, соответственно. Кстати функция КВАРТИЛЬ, использовавшаяся ранее соответствует современной функции КВАРТИЛЬ.ВКЛ. Для расчета квартилей в Excel с помощью вышеприведенных формул массив данных можно не упорядочивать.

Рис. 4. Вычисление квартилей в Excel

Подчеркнем еще раз. Excel умеет рассчитывать квартили для одномерного дискретного ряда , содержащего значения случайной величины. Расчет квартилей для распределения на основе частот приведен ниже в разделе .

Среднее геометрическое

В отличие от среднего арифметического среднее геометрическое позволяет оценить степень изменения переменной с течением времени. Среднее геометрическое - это корень n -й степени из произведения n величин (в Excel используется функция =СРГЕОМ):

G = (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n

Похожий параметр – среднее геометрическое значение нормы прибыли – определяется формулой:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n – 1,

где R i – норма прибыли за i -й период времени.

Например, предположим, что объем вложенных средств в исходный момент времени равен 100 000 долл. К концу первого года он падает до уровня 50 000 долл., а к концу второго года восстанавливается до исходной отметки 100 000 долл. Норма прибыли этой инвестиции за двухлетний период равна 0, поскольку первоначальный и финальный объем средств равны между собой. Однако среднее арифметическое годовых норм прибыли равно = (–0,5 + 1) / 2 = 0,25 или 25%, поскольку норма прибыли в первый год R 1 = (50 000 – 100 000) / 100 000 = –0,5, а во второй R 2 = (100 000 – 50 000) / 50 000 = 1. В то же время, среднее геометрическое значение нормы прибыли за два года равно: G = [(1–0,5) * (1+1)] 1/2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Таким образом, среднее геометрическое точнее отражает изменение (точнее, отсутствие изменений) объема инвестиций за двухлетний период, чем среднее арифметическое.

Интересные факты. Во-первых, среднее геометрическое всегда будет меньше среднего арифметического тех же чисел. За исключением случая, когда все взятые числа равны друг другу. Во-вторых, рассмотрев свойства прямоугольного треугольника, можно понять, почему среднее называется геометрическим. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу (рис. 5). Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, тогда высота, восставленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину:

Рис. 5. Геометрическая природа среднего геометрического (рисунок из Википедии)

Второе важное свойство числовых данных - их вариация , характеризующая степень дисперсии данных. Две разные выборки могут отличаться как средними значениями, так и вариациями. Однако, как показано на рис. 6 и 7, две выборки могут иметь одинаковые вариации, но разные средние значения, либо одинаковые средние значения и совершенно разные вариации. Данные, которым соответствует полигон В на рис. 7, изменяются намного меньше, чем данные, по которым построен полигон А.

Рис. 6. Два симметричных распределения колоколообразной формы с одинаковым разбросом и разными средними значениями

Рис. 7. Два симметричных распределения колоколообразной формы с одинаковыми средними значениями и разным разбросом

Существует пять оценок вариации данных:

размах,
межквартильный размах,
дисперсия,
стандартное отклонение,
коэффициент вариации.

Размах

Размахом называется разность между наибольшим и наименьшим элементами выборки:

Размах = Х Max – Х Min

Размах выборки, содержащей данные о среднегодовой доходности 15 взаимных фондов с очень высоким уровнем риска, можно вычислить, используя упорядоченный массив (см. рис. 4): Размах = 18,5 – (–6,1) = 24,6. Это значит, что разница между наибольшей и наименьшей среднегодовой доходностью фондов с очень высоким уровнем риска равна 24,6% .

Размах позволяет измерить общий разброс данных. Хотя размах выборки является весьма простой оценкой общего разброса данных, его слабость заключается в том, что он никак не учитывает, как именно распределены данные между минимальным и максимальным элементами. Этот эффект хорошо прослеживается на рис. 8, который иллюстрирует выборки, имеющие одинаковый размах. Шкала В демонстрирует, что если выборка содержит хотя бы одно экстремальное значение, размах выборки оказывается весьма неточной оценкой разброса данных.

Рис. 8. Сравнение трех выборок, имеющих одинаковый размах; треугольник символизирует опору весов, и его расположение соответствует среднему значению выборки

Межквартильный размах

Межквартильный, или средний, размах - это разность между третьим и первым квартилями выборки:

Межквартильный размах = Q 3 – Q 1

Эта величина позволяет оценить разброс 50% элементов и не учитывать влияние экстремальных элементов. Межквартильный размах выборки, содержащей данные о среднегодовой доходности 15 взаимных фондов с очень высоким уровнем риска, можно вычислить, используя данные на рис. 4 (например, для функции КВАРТИЛЬ.ИСКЛ): Межквартильный размах = 9,8 – (–0,7) = 10,5. Интервал, ограниченный числами 9,8 и –0,7, часто называют средней половиной.

Следует отметить, что величины Q 1 и Q 3 , а значит, и межквартильный размах, не зависят от наличия выбросов, поскольку при их вычислении не учитывается ни одна величина, которая была бы меньше Q 1 или больше Q 3 . Суммарные количественные характеристики, такие как медиана, первый и третий квартили, а также межквартильный размах, на которые не влияют выбросы, называются устойчивыми показателями.

Хотя размах и межквартильный размах позволяют оценить общий и средний разброс выборки соответственно, ни одна из этих оценок не учитывает, как именно распределены данные. Дисперсия и стандартное отклонение лишены этого недостатка. Эти показатели позволяют оценить степень колебания данных вокруг среднего значения. Выборочная дисперсия является приближением среднего арифметического, вычисленного на основе квадратов разностей между каждым элементом выборки и выборочным средним. Для выборки Х 1 , Х 2 , … Х n выборочная дисперсия (обозначаемая символом S 2 задается следующей формулой:

В общем случае выборочная дисперсия - это сумма квадратов разностей между элементами выборки и выборочным средним, деленная на величину, равную объему выборки минус один:

где - арифметическое среднее, n - объем выборки, X i - i -й элемент выборки X . В Excel до версии 2007 для расчета выборочной дисперсии использовалась функция =ДИСП(), с версии 2010 используется функция =ДИСП.В().

Наиболее практичной и широко распространенной оценкой разброса данных является стандартное выборочное отклонение . Этот показатель обозначается символом S и равен квадратному корню из выборочной дисперсии:

В Excel до версии 2007 для расчета стандартного выборочного отклонения использовалась функция =СТАНДОТКЛОН(), с версии 2010 используется функция =СТАНДОТКЛОН.В(). Для расчета этих функций массив данных может быть неупорядоченным.

Ни выборочная дисперсия, ни стандартное выборочное отклонение не могут быть отрицательными. Единственная ситуация, в которой показатели S 2 и S могут быть нулевыми, - если все элементы выборки равны между собой. В этом совершенно невероятном случае размах и межквартильный размах также равны нулю.

Числовые данные по своей природе изменчивы. Любая переменная может принимать множество разных значений. Например, разные взаимные фонды имеют разные показатели доходности и убытков. Вследствие изменчивости числовых данных очень важно изучать не только оценки среднего значения, которые по своей природе являются суммарными, но и оценки дисперсии, характеризующие разброс данных.

Дисперсия и стандартное отклонение позволяют оценить разброс данных вокруг среднего значения, иначе говоря, определить, сколько элементов выборки меньше среднего, а сколько - больше. Дисперсия обладает некоторыми ценными математическими свойствами. Однако ее величина представляет собой квадрат единицы измерения - квадратный процент, квадратный доллар, квадратный дюйм и т.п. Следовательно, естественной оценкой дисперсии является стандартное отклонение, которое выражается в обычных единицах измерений - процентах дохода, долларах или дюймах.

Стандартное отклонение позволяет оценить величину колебаний элементов выборки вокруг среднего значения. Практически во всех ситуациях основное количество наблюдаемых величин лежит в интервале плюс-минус одно стандартное отклонение от среднего значения. Следовательно, зная среднее арифметическое элементов выборки и стандартное выборочное отклонение, можно определить интервал, которому принадлежит основная масса данных.

Стандартное отклонение доходности 15 взаимных фондов с очень высоким уровнем риска равно 6,6 (рис. 9). Это значит, что доходность основной массы фондов отличается от среднего значения не более чем на 6,6% (т.е. колеблется в интервале от – S = 6,2 – 6,6 = –0,4 до + S = 12,8). Фактически в этом интервале лежит пятилетняя среднегодовая доходность 53,3% (8 из 15) фондов.

Рис. 9. Стандартное выборочное отклонение

Обратите внимание на то, что в процессе суммирования квадратов разностей элементы выборки, лежащие дальше от среднего значения, приобретают больший вес, чем элементы, лежащие ближе. Это свойство является основной причиной того, что для оценки среднего значения распределения чаще всего используется среднее арифметическое значение.

Коэффициент вариации

В отличие от предыдущих оценок разброса, коэффициент вариации является относительной оценкой. Он всегда измеряется в процентах, а не в единицах измерения исходных данных. Коэффициент вариации, обозначаемый символами CV, измеряет рассеивание данных относительно среднего значения. Коэффициент вариации равен стандартному отклонению, деленному на среднее арифметическое и умноженному на 100%:

где S - стандартное выборочное отклонение, - выборочное среднее.

Коэффициент вариации позволяет сравнить две выборки, элементы которых выражаются в разных единицах измерения. Например, управляющий службы доставки корреспонденции намеревается обновить парк грузовиков. При погрузке пакетов следует учитывать два вида ограничений: вес (в фунтах) и объем (в кубических футах) каждого пакета. Предположим, что в выборке, содержащей 200 пакетов, средний вес равен 26,0 фунтов, стандартное отклонение веса 3,9 фунтов, средний объем пакета 8,8 кубических футов, а стандартное отклонение объема 2,2 кубических фута. Как сравнить разброс веса и объема пакетов?

Поскольку единицы измерения веса и объема отличаются друг от друга, управляющий должен сравнить относительный разброс этих величин. Коэффициент вариации веса равен CV W = 3,9 / 26,0 * 100% = 15%, а коэффициент вариации объема CV V = 2,2 / 8,8 * 100% = 25% . Таким образом, относительный разброс объема пакетов намного больше относительного разброса их веса.

Форма распределения

Третье важное свойство выборки - форма ее распределения. Это распределение может быть симметричным или асимметричным. Чтобы описать форму распределения, необходимо вычислить его среднее значение и медиану. Если эти два показателя совпадают, переменная считается симметрично распределенной. Если среднее значение переменной больше медианы, ее распределение имеет положительную асимметрию (рис. 10). Если медиана больше среднего значения, распределение переменной имеет отрицательную асимметрию. Положительная асимметрия возникает, когда среднее значение увеличивается до необычайно высоких значений. Отрицательная асимметрия возникает, когда среднее значение уменьшается до необычайно малых значений. Переменная является симметрично распределенной, если она не принимает никаких экстремальных значений ни в одном из направлений, так что большие и малые значения переменной уравновешивают друг друга.

Рис. 10. Три вида распределений

Данные, изображенные на шкале А, имеют отрицательную асимметрию. На этом рисунке виден длинный хвост и перекос влево, вызванные наличием необычно малых значений. Эти крайне малые величины смещают среднее значение влево, и оно становится меньше медианы. Данные, изображенные на шкале Б, распределены симметрично. Левая и правая половины распределения являются своими зеркальными отражениями. Большие и малые величины уравновешивают друг друга, а среднее значение и медиана равны между собой. Данные, изображенные на шкале В, имеют положительную асимметрию. На этом рисунке виден длинный хвост и перекос вправо, вызванные наличием необычайно высоких значений. Эти слишком большие величины смещают среднее значение вправо, и оно становится больше медианы.

В Excel описательные статистики можно получить с помощью надстройки Пакет анализа . Пройдите по меню Данные → Анализ данных , в открывшемся окне выберите строку Описательная статистика и кликните Ok . В окне Описательная статистика обязательно укажите Входной интервал (рис. 11). Если вы хотите увидеть описательные статистики на том же листе, что и исходные данные, выберите переключатель Выходной интервал и укажите ячейку, куда следует поместить левый верхний угол выводимых статистик (в нашем примере $C$1). Если вы хотите вывести данные на новый лист или в новую книгу, достаточно просто выбрать соответствующий переключатель. Поставьте галочку напротив Итоговая статистика . По желанию также можно выбрать Уровень сложности, k-й наименьший и k-й наибольший .

Если на вкладе Данные в области Анализ у вас не отображается пиктограмма Анализ данных , нужно предварительно установить надстройку Пакет анализа (см., например, ).

Рис. 11. Описательные статистики пятилетней среднегодовой доходности фондов с очень высоким уровнями риска, вычисленные с помощью надстройки Анализ данных программы Excel

Excel вычисляет целый ряд статистик, рассмотренных выше: среднее, медиану, моду, стандартное отклонение, дисперсию, размах (интервал ), минимум, максимум и объем выборки (счет ). Кроме того, Excel вычисляет некоторые новые для нас статистики: стандартную ошибку, эксцесс и асимметричность. Стандартная ошибка равна стандартному отклонению, деленному на квадратный корень объема выборки. Асимметричность характеризует отклонение от симметричности распределения и является функцией, зависящей от куба разностей между элементами выборки и средним значением. Эксцесс представляет собой меру относительной концентрации данных вокруг среднего значения по сравнению с хвостами распределения и зависит от разностей между элементами выборки и средним значением, возведенных в четвертую степень.

Вычисление описательных статистик для генеральной совокупности

Среднее значение, разброс и форма распределения, рассмотренные выше, представляют собой характеристики, определяемые по выборке. Однако, если набор данных содержит числовые измерения всей генеральной совокупности, можно вычислить ее параметры. К числу таких параметров относятся математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение генеральной совокупности.

Математическое ожидание равно сумме всех значений генеральной совокупности, деленной на объем генеральной совокупности:

где µ - математическое ожидание, X i - i -е наблюдение переменной X , N - объем генеральной совокупности. В Excel для вычисления математического ожидания используется та же функция, что и для среднего арифметического: =СРЗНАЧ().

Дисперсия генеральной совокупности равна сумме квадратов разностей между элементами генеральной совокупности и мат. ожиданием, деленной на объем генеральной совокупности:

где σ 2 – дисперсия генеральной совокупности. В Excel до версии 2007 для вычисления дисперсии генеральной совокупности используется функция =ДИСПР(), начиная с версии 2010 =ДИСП.Г().

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно квадратному корню, извлеченному из дисперсии генеральной совокупности:

В Excel до версии 2007 для вычисления стандартного отклонения генеральной совокупности используется функция =СТАНДОТКЛОНП(), начиная с версии 2010 =СТАНДОТКЛОН.Г(). Обратите внимание на то, что формулы для дисперсии и стандартного отклонения генеральной совокупности отличаются от формул для вычисления выборочной дисперсии и стандартного отклонения. При вычислении выборочных статистик S 2 и S знаменатель дроби равен n – 1 , а при вычислении параметров σ 2 и σ - объему генеральной совокупности N .

Эмпирическое правило

В большинстве ситуаций крупная доля наблюдений концентрируется вокруг медианы, образуя кластер. В наборах данных, имеющих положительную асимметрию, этот кластер расположен левее (т.е. ниже) математического ожидания, а в наборах, имеющих отрицательную асимметрию, этот кластер расположен правее (т.е. выше) математического ожидания. У симметричных данных математическое ожидание и медиана совпадают, а наблюдения концентрируются вокруг математического ожидания, формируя колоколообразное распределение. Если распределение не имеет ярко выраженной асимметрии, а данные концентрируются вокруг некоего центра тяжести, для оценки изменчивости можно применять эмпирическое правило, которое гласит: если данные имеют колоколообразное распределение, то приблизительно 68% наблюдений отстоят от математического ожидания не более чем на одно стандартное отклонение, приблизительно 95% наблюдений отстоят от математического ожидания не более чем на два стандартных отклонения и 99,7% наблюдений отстоят от математического ожидания не более чем на три стандартных отклонения.

Таким образом, стандартное отклонение, представляющее собой оценку среднего колебания вокруг математического ожидания, помогает понять, как распределены наблюдения, и идентифицировать выбросы. Из эмпирического правила следует, что для колоколообразных распределений лишь одно значение из двадцати отличается от математического ожидания больше, чем на два стандартных отклонения. Следовательно, значения, лежащие за пределами интервала µ ± 2σ , можно считать выбросами. Кроме того, только три из 1000 наблюдений отличаются от математического ожидания больше чем на три стандартных отклонения. Таким образом, значения, лежащие за пределами интервала µ ± 3σ практически всегда являются выбросами. Для распределений, имеющих сильную асимметрию или не имеющих колоколообразной формы, можно применять эмпирическое правило Бьенамэ-Чебышева.

Более ста лет назад математики Бьенамэ и Чебышев независимо друг от друга открыли полезное свойство стандартного отклонения. Они обнаружили, что для любого набора данных, независимо от формы распределения, процент наблюдений, лежащих на расстоянии не превышающем k стандартных отклонений от математического ожидания, не меньше (1 – 1/ k 2)*100% .

Например, если k = 2, правило Бьенамэ-Чебышева гласит, что как минимум (1 – (1/2) 2) х 100% = 75% наблюдений должно лежать в интервале µ ± 2σ . Это правило справедливо для любого k , превышающего единицу. Правило Бьенамэ-Чебышева носит весьма общий характер и справедливо для распределений любого вида. Оно указывает минимальное количество наблюдений, расстояние от которых до математического ожидания не превышает заданной величины. Однако, если распределение имеет колоколообразную форму, эмпирическое правило более точно оценивает концентрацию данных вокруг математического ожидания.

Вычисление описательных статистик для распределения на основе частот

Если исходные данные недоступны, единственным источником информации становится распределение частот. В таких ситуациях можно вычислить приближенные значения количественных показателей распределения, таких как среднее арифметическое, стандартное отклонение, квартили.

Если выборочные данные представлены в виде распределения частот, приближенное значение среднего арифметического можно вычислить, предполагая, что все значения внутри каждого класса сосредоточены в средней точке класса:

где - выборочное среднее, n - количество наблюдений, или объем выборки, с - количество классов в распределении частот, m j - средняя точка j -гo класса, f j - частота, соответствующая j -му классу.

Для вычисления стандартного отклонения по распределению частот также предполагается, что все значения внутри каждого класса сосредоточены в средней точке класса.

Чтобы понять, как определяются квартили ряда на основе частот, рассмотрим расчет нижнего квартиля на основе данных за 2013 г. о распределении населения России по величине среднедушевых денежных доходов (рис. 12).

Рис. 12. Доля населения России со среднедушевыми денежными доходами в среднем за месяц, рублей

Для расчета первого квартиля интервального вариационного ряда можно воспользоваться формулой:

где Q1 – величина первого квартиля, хQ1 – нижняя граница интервала, содержащего первый квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%); i – величина интервала; Σf – сумма частот всей выборки; наверное, всегда равна 100%; SQ1–1 – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль; fQ1 – частота интервала, содержащего нижний квартиль. Формула для третьего квартиля отличается тем, что во всех местах вместо Q1 нужно использовать Q3, а вместо ¼ подставить ¾.

В нашем примере (рис. 12) нижний квартиль находится в интервале 7000,1 – 10 000, накопленная частота которого равна 26,4%. Нижняя граница этого интервала – 7000 руб., величина интервала – 3000 руб., накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль – 13,4%, частота интервала, содержащего нижний квартиль – 13,0%. Таким образом: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 – 13,4) / 13 = 9677 руб.

Ловушки, связанные с описательными статистиками

В этой заметке мы рассмотрели, как описать набор данных с помощью различных статистик, оценивающих его среднее значение, разброс и вид распределения. Следующим этапом является анализ и интерпретация данных. До сих пор мы изучали объективные свойства данных, а теперь переходим к их субъективной трактовке. Исследователя подстерегают две ошибки: неверно выбранный предмет анализа и неправильная интерпретация результатов.

Анализ доходности 15 взаимных фондов с очень высоким уровнем риска является вполне беспристрастным. Он привел к совершенно объективным выводам: все взаимные фонды имеют разную доходность, разброс доходности фондов колеблется от –6,1 до 18,5, а средняя доходность равна 6,08. Объективность анализа данных обеспечивается правильным выбором суммарных количественных показателей распределения. Было рассмотрено несколько способов оценки среднего значения и разброса данных, указаны их преимущества и недостатки. Как же выбрать правильную статистику, обеспечивающую объективный и беспристрастный анализ? Если распределение данных имеет небольшую асимметрию, следует ли выбирать медиану, а не среднее арифметическое? Какой показатель более точно характеризует разброс данных: стандартное отклонение или размах? Следует ли указывать на положительную асимметрию распределения?

С другой стороны, интерпретация данных является субъективным процессом. Разные люди приходят к разным выводам, истолковывая одни и те же результаты. У каждого своя точка зрения. Кто-то считает суммарные показатели среднегодовой доходности 15 фондов с очень высоким уровнем риска хорошими и вполне доволен полученным доходом. Другим может показаться, что эти фонды имеют слишком низкую доходность. Таким образом, субъективность следует компенсировать честностью, нейтральностью и ясностью выводов.

Этические проблемы

Анализ данных неразрывно связан с этическими вопросами. Следует критически относиться к информации, распространяемой газетами, радио, телевидением и Интерентом. Со временем вы научитесь скептически относиться не только к результатам, но и к целям, предмету и объективности исследований. Лучше всего об этом сказал известный британский политик Бенджамин Дизраэли: «Существуют три вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика».

Как было отмечено в заметке этические проблемы возникают при выборе результатов, которые следует привести в отчете. Следует публиковать как положительные, так и отрицательные результаты. Кроме того, делая доклад или письменный отчет, результаты необходимо излагать честно, нейтрально и объективно. Следует различать неудачную и нечестную презентации. Для этого необходимо определить, каковы были намерения докладчика. Иногда важную информацию докладчик пропускает по невежеству, а иногда - умышленно (например, если он применяет среднее арифметическое для оценки среднего значения явно асимметричных данных, чтобы получить желаемый результат). Нечестно также замалчивать результаты, которые не соответствуют точке зрения исследователя.

Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 178–209

Функция КВАРТИЛЬ оставлена для совмещения с более ранними версиями Excel

Тема 5. Средние величины как статистические показатели

Понятие средней величины. Область применения средних величин в статистическом исследовании

Средние величины используются на этапе обработки и обобщения полученных первичных статистических данных. Потребность определения средних величин связана с тем, что у различных единиц исследуемых совокупностей индивидуальные значения одного и того же признака, как правило, неодинаковы.

Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.

Если исследуется совокупность с качественно однородными признаками, то средняя величина выступает здесь как типическая средняя . Например, для групп работников определенной отрасли с фиксированным уровнем дохода определяется типическая средняя расходов на предметы первой необходимости, т.е. типическая средняя обобщает качественно однородные значения признака в данной совокупности, каковым является доля расходов у работников данной группы на товары первой необходимости.

При исследовании совокупности с качественно разнородными признаками на первый план может выступить нетипичность средних показателей. Такими, к примеру, являются средние показатели произведенного национального дохода на душу населения (разные возрастные группы), средние показатели урожайности зерновых культур по всей территории России (районы разных климатических зон и разных зерновых культур), средние показатели рождаемости населения по всем регионам страны, средние температуры за определенный период и т.д. Здесь средние величины обобщают качественно разнородные значения признаков или системных пространственных совокупностей (международное сообщество, континент, государство, регион, район и т.д.) или динамических совокупностей, протяженных во времени (век, десятилетие, год, сезон и т.д.). Такие средние величины называют системными средними .

Таким образом, значение средних величин состоит в их обобщающей функции. Средняя величина заменяет большое число индивидуальных значений признака, обнаруживая общие свойства, присущие всем единицам совокупности. Это, в свою очередь, позволяет избежать случайных причин и выявить общие закономерности, обусловленные общими причинами.

Виды средних величин и методы их расчета

На этапе статистической обработки могут быть поставлены самые различные задачи исследования, для решения которых нужно выбрать соответствующую среднюю. При этом необходимо руководствоваться следующим правилом: величины, которые представляют собой числитель и знаменатель средней, должны быть логически связаны между собой.

степенные средние ;

структурные средние .

Введем следующие условные обозначения:

Величины, для которых исчисляется средняя;

Средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений;

Частота (повторяемость индивидуальных значений признака).

Различные средние выводятся из общей формулы степенной средней:

(5.1)

при k = 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = -2 - средняя квадратическая.

Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней .

Средняя арифметическая - самый распространенный вид средней. Она используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Средняя арифметическая - это такое среднее значение признака, при получении которого сохраняется неизменным общий объем признака в совокупности.

Формула средней арифметической (простой ) имеет вид

где n - численность совокупности.

Например, средняя заработная плата работников предприятия вычисляется как средняя арифметическая:

Определяющими показателями здесь являются заработная плата каждого работника и число работников предприятия. При вычислении средней общая сумма заработной платы осталась прежней, но распределенной как бы между всеми работниками поровну. К примеру, необходимо вычислить среднюю заработную плату работников небольшой фирмы, где заняты 8 человек:

При расчете средних величин отдельные значения признака, который осредняется, могут повторяться, поэтому расчет средней величины производится по сгруппированным данным. В этом случае речь идет об использовании средней арифметической взвешенной , которая имеет вид

(5.3)

Так, нам необходимо рассчитать средний курс акций какого-то акционерного общества на торгах фондовой биржи. Известно, что сделки осуществлялись в течение 5 дней (5 сделок), количество проданных акций по курсу продаж распределилось следующим образом:

1 - 800 ак. - 1010 руб.

2 - 650 ак. - 990 руб.

3 - 700 ак. - 1015 руб.

4 - 550 ак. - 900 руб.

5 - 850 ак. - 1150 руб.

Исходным соотношением для определения среднего курса стоимости акций является отношение общей суммы сделок (ОСС) к количеству проданных акций (КПА):

ОСС = 1010 ·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3 634 500;

КПА = 800+650+700+550+850=3550.

В этом случае средний курс стоимости акций был равен

Необходимо знать свойства арифметической средней, что очень важно как для ее использования, так и при ее расчете. Можно выделить три основных свойства, которые наиболее всего обусловили широкое применение арифметической средней в статистико-экономических расчетах.

Свойство первое (нулевое ): сумма положительных отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна сумме отрицательных отклонений. Это очень важное свойство, поскольку оно показывает, что любые отклонения (как с +, так и с -), вызванные случайными причинами, взаимно будут погашены.

Доказательство:

Свойство второе (минимальное ): сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа (а), т.е. есть число минимальное.

Доказательство.

Составим сумму квадратов отклонений от переменной а:

(5.4)

Чтобы найти экстремум этой функции, необходимо ее производную по а приравнять нулю:

Отсюда получаем:

(5.5)

Следовательно, экстремум суммы квадратов отклонений достигается при . Этот экстремум - минимум, так как функция не может иметь максимума.

Свойство третье : средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: при а = const.

Кроме этих трех важнейших свойств средней арифметической существуют так называемые расчетные свойства , которые постепенно теряют свою значимость в связи с использованием электронно-вычислительной техники:

если индивидуальное значение признака каждой единицы умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз;

средняя арифметическая не изменится, если вес (частоту) каждого значения признака разделить на постоянное число;

если индивидуальные значения признака каждой единицы уменьшить или увеличить на одну и ту же величину, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на ту же самую величину.

Средняя гармоническая . Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.

Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1:

К примеру, нам нужно вычислить среднюю скорость двух автомашин, прошедших один и тот же путь, но с разной скоростью: первая - со скоростью 100 км/ч, вторая - 90 км/ч. Применяя метод средней гармонической, мы вычисляем среднюю скорость:

В статистической практике чаще используется гармоническая взвешенная, формула которой имеет вид

Данная формула используется в тех случаях, когда веса (или объемы явлений) по каждому признаку не равны. В исходном соотношении для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель.

В статистике используют различные виды средних величин, которые делятся на два больших класса:

Степенные средние (средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая, средняя квадра-тическая, средняя кубическая);

Структурные средние (мода, медиана).

Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Мода и медиана определяются лишь структурой распределения, поэтому их называют структурными, позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.

Самый распространенный вид средней величины – средняя арифметическая. Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности. Вычисление данной величины сводится к суммированию всех значений варьирующего признака и делению полученной суммы на общее количество единиц совокупности. Например, пять рабочих выполняли заказ на изготовление деталей, при этом первый изготовил 5 деталей, второй – 7, третий – 4, четвертый – 10, пятый– 12. Поскольку в исходных данных значение каждого варианта встречалось только один раз, для опреде-

ления средней выработки одного рабочего следует применить формулу простой средней арифметической:

т. е. в нашем примере средняя выработка одного рабочего равна

Наряду с простой средней арифметической изучают среднюю арифметическую взвешенную. Например, рассчитаем средний возраст студентов в группе из 20 человек, возраст которых варьируется от 18 до 22 лет, где xi – варианты осредняемого признака, fi – частота, которая показывает, сколько раз встречается i-е значение в совокупности (табл. 5.1).

Таблица 5.1

Средний возраст студентов

Применяя формулу средней арифметической взвешенной, получаем:

Для выбора средней арифметической взвешенной существует определенное правило: если имеется ряд данных по двум показателям, для одного из которых надо вычислить

среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя неизвестны, но могут быть найдены как произведение этих показателей, то средняя величина должна высчитывать-ся по формуле средней арифметической взвешенной.

В некоторых случаях характер исходных статистических данных таков, что расчет средней арифметической теряет смысл и единственным обобщающим показателем может служить только другой вид средней величины – средняя гармоническая. В настоящее время вычислительные свойства средней арифметической потеряли свою актуальность при расчете обобщающих статистических показателей в связи с повсеместным внедрением электронно-вычислительной техники. Большое практическое значение приобрела средняя гармоническая величина, которая тоже бывает простой и взвешенной. Если известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя неизвестны, но могут быть найдены как частное деление одного показателя на другой, то средняя величина вычисляется по формуле средней гармонической взвешенной.

Например, пусть известно, что автомобиль прошел первые 210 км со скоростью 70 км/ч, а оставшиеся 150 км со скоростью 75 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути в 360 км, используя формулу средней арифметической, нельзя. Так как вариантами являются скорости на отдельных участках xj = 70 км/ч и Х2 = 75 км/ч, а весами (fi) считаются соответствующие отрезки пути, то произведения вариантов на веса не будут иметь ни физического, ни экономического смысла. В данном случае смысл приобретают частные от деления отрезков пути на соответствующие скорости (варианты xi), т. е. затраты времени на прохождение отдельных участков пути (fi/ xi). Если отрезки пути обозначить через fi, то весь путь выразиться как?fi, а время, затраченное на весь путь, – как? fi/ xi , Тогда средняя скорость может быть найдена как частное от деления всего пути на общие затраты времени:

В нашем примере получим:

Если при использовании средней гармонической веса всех вариантов (f) равны, то вместо взвешенной можно использовать простую (невзвешенную) среднюю гармоническую:

где xi – отдельные варианты; n – число вариантов осредняемого признака. В примере со скоростью простую среднюю гармоническую можно было бы применить, если бы были равны отрезки пути, пройденные с разной скоростью.

Любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изменялась величина некоторого итогового, обобщающего показателя, который связан с осредняемым показателем. Так, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней величиной (средней скоростью) не должно измениться общее расстояние.

Форма (формула) средней величины определяется характером (механизмом) взаимосвязи этого итогового показателя с осредняемым, поэтому итоговый показатель, величина которого не должна изменяться при замене вариантов их средней величиной, называется определяющим показателем. Для вывода формулы средней нужно составить и решить уравнение, используя взаимосвязь осредняемого показателя с определяющим. Это уравнение строится путем замены вариантов осредняемого признака (показателя) их средней величиной.

Кроме средней арифметической и средней гармонической в статистике используются и другие виды (формы) средней величины. Все они являются частными случаями степенной средней. Если рассчитывать все виды степенных средних величин для одних и тех же данных, то значения

их окажутся одинаковыми, здесь действует правило мажо-рантности средних. С увеличением показателя степени средних увеличивается и сама средняя величина. Наиболее часто применяемые в практических исследованиях формулы вычисления различных видов степенных средних величин представлены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Виды степенных средних

Средняя геометрическая применяется, когда имеется n коэффициентов роста, при этом индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики. Средняя характеризует, таким образом, средний коэффициент роста. Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле

Формула средней геометрической взвешенной имеет следующий вид:

Приведенные формулы идентичны, но одна применяется при текущих коэффициентах или темпах роста, а вторая – при абсолютных значениях уровней ряда.

Средняя квадратическая применяется при расчете с величинами квадратных функций, используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения и вычисляется по формуле

Средняя квадратическая взвешенная рассчитывается по другой формуле:

Средняя кубическая применяется при расчете с величинами кубических функций и вычисляется по формуле

средняя кубическая взвешенная:

Все рассмотренные выше средние величины могут быть представлены в виде общей формулы:

где – средняя величина; – индивидуальное значение; n – число единиц изучаемой совокупности; k – показатель степени, определяющий вид средней.

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше k в общей формуле степенной средней, тем больше средняя величина. Из этого следует, что между величинами степенных средних существует закономерное соотношение:

Средние величины, описанные выше, дают обобщенное представление об изучаемой совокупности и с этой точки зрения их теоретическое, прикладное и познавательное значение бесспорно. Но бывает, что величина средней не совпадает ни с одним из реально существующих вариантов, поэтому кроме рассмотренных средних в статистическом анализе целесообразно использовать величины конкретных вариантов, занимающие в упорядоченном (ранжированном) ряду значений признака вполне определенное положение. Среди таких величин наиболее употребительными являются структурные, или описательные, средние – мода (Мо) и медиана (Ме).

Мода – величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. Применительно к вариационному ряду модой является наиболее часто встречающееся значение ранжированного ряда, т. е. вариант, обладающий наибольшей частотой. Мода может применяться при определении магазинов, которые чаще посещаются, наиболее распространенной цены на какой-либо товар. Она показывает размер признака, свойственный значительной части совокупности, и определяется по формуле

где х0 – нижняя граница интервала; h – величина интервала; fm – частота интервала; fm_ 1 – частота предшествующего интервала; fm+ 1 – частота следующего интервала.

Медианой называется вариант, расположенный в центре ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные части таким образом, что по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. При этом у одной половины единиц совокупности значение варьирующего признака меньше медианы, у другой – больше ее. Медиана используется при изучении элемента, значение которого больше или равно или одновременно меньше или равно половине элементов ряда распределения. Медиана дает общее представление о том, где сосредоточены значения признака, иными словами, где находится их центр.

Описательный характер медианы проявляется в том, что она характеризует количественную границу значений варьирующего признака, которыми обладает половина единиц совокупности. Задача нахождения медианы для дискретного вариационного ряда решается просто. Если всем единицам ряда придать порядковые номера, то порядковый номер медианного варианта определяется как (п +1) / 2 с нечетным числом членов п. Если же количество членов ряда является четным числом, то медианой будет являться среднее значение двух вариантов, имеющих порядковые номера n / 2 и n / 2 + 1.

При определении медианы в интервальных вариационных рядах сначала определяется интервал, в котором она находится (медианный интервал). Этот интервал характерен тем, что его накопленная сумма частот равна или превышает полусумму всех частот ряда. Расчет медианы интервального вариационного ряда производится по формуле

где X0 – нижняя граница интервала; h – величина интервала; fm – частота интервала; f – число членов ряда;

M-1 – сумма накопленных членов ряда, предшествующих данному.

Наряду с медианой для более полной характеристики структуры изучаемой совокупности применяют и другие значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду вполне определенное положение. К ним относятся квартили и децили. Квартили делят ряд по сумме частот на 4 равные части, а децили – на 10 равных частей. Квартилей насчитывается три, а децилей – девять.

Медиана и мода в отличие от средней арифметической не погашают индивидуальных различий в значениях варьирующего признака и поэтому являются дополнительными и очень важными характеристиками статистической совокупности. На практике они часто используются вместо средней либо наряду с ней. Особенно целесообразно вычислять медиану и моду в тех случаях, когда изучаемая совокупность содержит некоторое количество единиц с очень большим или очень малым значением варьирующего признака. Эти, не очень характерные для совокупности значения вариантов, влияя на величину средней арифметической, не влияют на значения медианы и моды, что делает последние очень ценными для экономико-статистического анализа показателями.

Тема среднего арифметического и среднего геометрического входит в программу математики 6-7 классов. Так как параграф довольно прост для понимания, его быстро проходят, и к завершению учебного года школьники его забывают. Но знания в базовой статистике нужны для сдачи ЕГЭ, а также для международных экзаменов SAT. Да и для повседневной жизни развитое аналитическое мышление никогда не помешает.

Как вычислить среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел

Допустим, имеется ряд чисел: 11, 4, и 3. Средним арифметическим называется сумма всех чисел, поделенная на количество данных чисел. То есть в случае чисел 11, 4, 3, ответ будет 6. Как образом получается 6?

Решение: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

В знаменателе должно стоять число, равное количеству чисел, среднее которых нужно найти. Сумма делится на 3, так как слагаемых три.

Теперь надо разобраться со средним геометрическим. Допустим, есть ряд чисел: 4, 2 и 8.

Средним геометрическим чисел называется произведение всех данных чисел, находящееся под корнем со степенью, равной количеству данных чисел.То есть в случае чисел 4, 2 и 8 ответом будет 4. Вот каким образом это получилось:

Решение: ∛(4 × 2 × 8) = 4

В обоих вариантах получились целые ответы, так как для примера были взяты специальные числа. Так происходит отнюдь не всегда. В большинстве случаев ответ приходится округлять или оставлять под корнем. Например, для чисел 11, 7 и 20 среднее арифметическое ≈ 12,67, а среднее геометрическое - ∛1540. А для чисел 6 и 5 ответы, соответственно, будут 5,5 и √30.

Может ли так произойти, что среднее арифметическое станет равным среднему геометрическому?

Конечно, может. Но только в двух случаях. Если имеется ряд чисел, состоящий только либо из единиц, либо из нулей. Примечательно также то, что ответ не зависит от их количества.

Доказательство с единицами: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (среднее арифметическое).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(среднее геометрическое).