Арифметическая и геометрическая прогрессии. Числовая последовательность Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Кто-то к слову «прогрессия» относится настороженно, как к очень сложному термину из разделов высшей математики. А между тем самая простая арифметическая прогрессия - работа счётчика такси (где они ещё остались). И понять суть (а в математике нет ничего важнее, чем «понять суть») арифметической последовательности не так сложно, разобрав несколько элементарных понятий.

Математическая числовая последовательность

Числовой последовательностью принято именовать какой-либо ряд чисел, каждое из которых имеет свой номер.

а 1 - первый член последовательности;

а 2 - второй член последовательности;

а 7 - седьмой член последовательности;

а n - n-ный член последовательности;

Однако не любой произвольный набор цифр и чисел интересует нас. Наше внимание сосредоточим на числовой последовательности, у которой значение n-ного члена связано с его порядковым номером зависимостью, которую можно чётко сформулировать математически. Иными словами: численное значение n-ного номера является какой-либо функцией от n.

a - значение члена числовой последовательности;

n - его порядковый номер;

f(n) - функция, где порядковый номер в числовой последовательности n является аргументом.

Определение

Арифметической прогрессией принято именовать числовую последовательность, в которой каждый последующий член больше (меньше) предыдущего на одно и то же число. Формула n-ного члена арифметической последовательности выглядит следующим образом:

a n - значение текущего члена арифметической прогрессии;

a n+1 - формула следующего числа;

d - разность (определённое число).

Нетрудно определить, что если разность положительна (d>0), то каждый последующий член рассматриваемого ряда будет больше предыдущего и такая арифметическая прогрессия будет возрастающей.

На представленном ниже графике нетрудно проследить, почему числовая последовательность получила название «возрастающая».

В случаях, когда разность отрицательная (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Значение заданного члена

Иногда бывает необходимо определить значение какого-либо произвольного члена a n арифметической прогрессии. Можно сделать это путём расчёта последовательно значений всех членов арифметической прогрессии, начиная с первого до искомого. Однако такой путь не всегда приемлем, если, например, необходимо отыскать значение пятитысячного или восьмимиллионного члена. Традиционный расчёт сильно затянется по времени. Однако конкретная арифметическая прогрессия может быть исследована с помощью определённых формул. Существует и формула n-ного члена: значение любого члена арифметической прогрессии может быть определено как сумма первого члена прогрессии с разностью прогрессии, умноженной на номер искомого члена, уменьшенный на единицу.

Формула универсальна для возрастающей и убывающей прогрессии.

Пример расчёта значения заданного члена

Решим следующую задачу на нахождение значения n-ного члена арифметической прогрессии.

Условие: имеется арифметическая прогрессия с параметрами:

Первый член последовательности равен 3;

Разность числового ряда равняется 1,2.

Задание: необходимо отыскать значение 214 члена

Решение: для определения значения заданного члена воспользуемся формулой:

а(n) = а1 + d(n-1)

Подставив в выражение данные из условия задачи имеем:

а(214) = а1 + d(n-1)

а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Ответ: 214-ый член последовательности раве 258,6.

Преимущества такого способа расчёта очевидны - всё решение занимает не более 2 строчек.

Сумма заданного числа членов

Очень часто в заданном арифметическом ряду требуется определить сумму значений некоторого его отрезка. Для этого также нет необходимости вычислять значения каждого члена и затем суммировать. Такой способ применим, если число членов, сумму которых необходимо найти, невелико. В остальных случаях удобнее воспользоваться следующей формулой.

Сумма членов арифметической прогрессии от 1 до n равна сумме первого и n-ного членов, помноженной на номер члена n и делённой надвое. Если в формуле значение n-ного члена заменить на выражение из предыдущего пункта статьи, получим:

Пример расчёта

Для примера решим задачу со следующими условиями:

Первый член последовательности равен нулю;

Разность равняется 0,5.

В задаче требуется определить сумму членов ряда с 56-го по 101.

Решение. Воспользуемся формулой определения суммы прогрессии:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Вначале определим сумму значений 101 члена прогрессии, подставив в формулу данные их условия нашей задачи:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Очевидно, для того, чтобы узнать сумму членов прогрессии с 56-го по 101-й, необходимо от S 101 отнять S 55 .

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Таким образом сумма арифметической прогрессии для данного примера:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Пример практического применения арифметической прогрессии

В конце статьи вернёмся к примеру арифметической последовательности, приведённому в первом абзаце - таксометр (счётчик автомобиля такси). Рассмотрим такой пример.

Посадка в такси (в которую входит 3 км пробега) стоит 50 рублей. Каждый последующий километр оплачивается из расчёта 22 руб./км. Расстояние поездки 30 км. Рассчитать стоимость поездки.

1. Отбросим первые 3 км, цена которых включена в стоимость посадки.

30 - 3 = 27 км.

2. Дальнейший расчет - не что иное как разбор арифметического числового ряда.

Номер члена - число км пробега (минус первые три).

Значение члена - сумма.

Первый член в данной задаче будет равен a 1 = 50 р.

Разность прогрессии d = 22 р.

интересующее нас число - значение (27+1)-ого члена арифметической прогрессии - показания счётчика в конце 27-го километра - 27,999… = 28 км.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

На формулах, описывающих те или иные числовые последовательности, построены расчёты календарных данных на сколь угодно длительный период. В астрономии в геометрической зависимости от расстояния небесного тела до светила находится длина орбиты. Кроме того, различные числовые ряды с успехом применяются в статистике и других прикладных разделах математики.

Другой вид числовой последовательности - геометрическая

Геометрическая прогрессия характеризуется большими, по сравнению с арифметической, темпами изменения. Не случайно в политике, социологии, медицине зачастую, чтобы показать большую скорость распространения того или иного явления, например заболевания при эпидемии, говорят, что процесс развивается в геометрической прогрессии.

N-ный член геометрического числового ряда отличается от предыдущего тем, что он умножается на какое-либо постоянное число - знаменатель, например первый член равен 1, знаменатель соответственно равен 2, тогда:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - значение текущего члена геометрической прогрессии;

b n+1 - формула следующего члена геометрической прогрессии;

q - знаменатель геометрической прогрессии (постоянное число).

Если график арифметической прогрессии представляет собой прямую, то геометрическая рисует несколько иную картину:

Как и в случае с арифметической, геометрическая прогрессия имеет формулу значения произвольного члена. Какой-либо n-ный член геометрической прогрессии равен произведению первого члена на знаменатель прогрессии в степени n уменьшенного на единицу:

Пример. Имеем геометрическую прогрессию с первым членом равным 3 и знаменателем прогрессии, равным 1,5. Найдём 5-й член прогрессии

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Сумма заданного числа членов рассчитывается так же с помощью специальной формулы. Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна разности произведения n- ного члена прогрессии на его знаменатель и первого члена прогрессии, делённой на уменьшенный на единицу знаменатель:

Если b n заменить пользуясь рассмотренной выше формулой, значение суммы n первых членов рассматриваемого числового ряда примет вид:

Пример. Геометрическая прогрессия начинается с первого члена, равного 1. Знаменатель задан равным 3. Найдём сумму первых восьми членов.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х n , то говорят, что задана числовая последовательность х 1, х 2, …, х n , ….

Обозначение числовой последовательности { х n } .

При этом числа х 1, х 2, …, х n , … называются членами последовательности .

Основные способы задания числовых последовательностей

1. Одним из наиболее удобных способов является задание последовательности формулой её общего члена : х n = f (n ), n Î N .

Например, х n = n 2 + 2n + 3 Þ х 1 = 6, х 2 = 11, х 3 = 18, х 4 = 27, …

2. Непосредственным перечислением конечного числа первых членов.

Например, https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" width="87" height="46 src=">

3. Рекуррентным соотношением , т. е. формулой, выражающей n-член через предшествующие один или несколько членов.

Например, рядом Фибоначчи называется последовательность чисел

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, которая определяется рекуррентно:

х 1 = 1, х 2 = 1, х n +1 = xn + xn –1 (n = 2, 3, 4, …).

Арифметические операции над последовательностями

1. Суммой (разностью ) последовательностей { а n } и { bn cn } = { an ± bn }.

2. Произведением последовательностей { а n } и { bn } называется последовательность { cn } = { an ×bn }.

3. Частным последовательностей { а n } и { bn }, bn ¹ 0, называется последовательность { cn } = { an ×/ bn }.

Свойства числовых последовательностями

1. Последовательность { х n } называется ограниченной сверху М n справедливо неравенство х n £ M .

2. Последовательность { х n } называется ограниченной снизу , если существует такое действительное число m , что для всех натуральных значений n справедливо неравенство х n ³ m .

3. Последовательность { х n } называется возрастающей n справедливо неравенство х n < х n +1.

4. Последовательность { х n } называется убывающей , если для всех натуральных значений n справедливо неравенство х n > х n +1.

5. Последовательность { х n } называется невозрастающей , если для всех натуральных значений n справедливо неравенство х n ³ х n +1.

6. Последовательность { х n } называется неубывающей , если для всех натуральных значений n справедливо неравенство х n £ х n +1.

Последовательности возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие называются монотонными последовательностями, при этом возрастающие и убывающие – строго монотонными .

Основные приёмы, применяемые при исследовании последовательности на монотонность

1. Использование определения.

а) Для исследуемой последовательности { х n } составляется разность

х n – х n +1, и далее выясняется, сохраняет ли эта разность постоянный знак при любых n Î N , и если да, то какой именно. В зависимости от этого делается вывод о монотонности (немонотонности) последовательности.

б) Для знакопостоянных последовательностей { х n } можно составить отношение х n +1/ х n и сравнить его с единицей.

Если это отношение при всех n больше единицы, то для строго положительной последовательности делается вывод о её возрастании, а для строго отрицательной, соответственно, об убывании.

Если это отношение при всех n не меньше единицы, то для строго положительной последовательности делается вывод о её неубывании, а для строго отрицательной, соответственно, о невозрастании.

Если это отношение при некоторых номерах n больше единицы, а при других номерах n меньше единицы, то это говорит о немонотонном характере последовательности.

2. Переход к функции действительного аргумента.

Пусть необходимо исследовать на монотонность числовую последовательность

а n = f (n ), n Î N .

Введём в рассмотрение функцию действительного аргумента х :

f (х ) = а (х ), х ³ 1,

и исследуем её на монотонность.

Если функция дифференцируема на рассматриваемом промежутке, то найдём её производную и исследуем знак.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

Возвращаясь к натуральным значениям аргумента, распространяем эти результаты на исходную последовательность.

Число а называется пределом последовательности х n , если для любого сколь угодно малого положительного числа e найдётся такое натуральное число N , что для всех номеров n > N выполнено неравенство | xn – a | < e.

Вычисление суммы n первых членов последовательности

1. Представление общего члена последовательности в виде разности двух или нескольких выражений таким образом, чтобы при подстановке большая часть промежуточных слагаемых сократилась, и сумма существенно упростилась.

2. Для проверки и доказательства уже имеющихся формул нахождения сумм первых членов последовательностей может быть использован метод математической индукции.

3. Некоторые задачи с последовательностями удаётся свести к задачам на арифметические или геометрические прогрессии.

Арифметические и геометрические прогрессии

Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Определение х n }, n ÎN , называется арифметической прогрессией, если каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом d , т. е. а n +1 = an + d , где d – разность прогрессии, а n – общий член (n -й член)	Определение Числовая последовательность { х n }, n ÎN , называется геометрической прогрессией, если каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же постоянное для данной последовательности числом q , т. е. bn +1 = bn × q , b 1 ¹ 0, q ¹ 0, где q – знаменатель прогрессии, bn – общий член (n -й член)
Монотонность Если d > 0, то прогрессия возрастающая. Если d < 0, то прогрессия убывающая.	Монотонность Если b 1 > 0, q > 1 или b 1 < 0, 0 < q < 1, то прогрессия возрастающая. Если b 1 < 0, q > 1 или b 1 > 0, 0 < q < 1, то прогрессия убывающая. Если q < 0, то прогрессия немонотонная
Формула общего члена а n = a 1 + d ×(n – 1) Если 1 £ k £ n – 1, то а n = ak + d ×(n – k )	Формула общего члена bn = b 1 × qn – 1 Если 1 £ k £ n – 1, то bn = bk × qn –k
Характеристическое свойство Если 1 £ k £ n – 1, то	Характеристическое свойство Если 1 £ k £ n – 1, то
Свойство an + am = ak + al , если n + m = k + l	Свойство bn × bm = bk × bl , если n + m = k + l
Сумма первых n членов Sn = a 1 + a 2 + … + an или	Сумма Sn = b 1 + b 2 + … + bn Если q ¹ 1, то . Если q = 1, то Sn = b 1×n . Если |q | < 1 и n ® ¥, то
Операции над прогрессиями 1. Если { а n } и { bn } арифметические прогрессии, то последовательность { an ± bn } тоже является арифметической прогрессией. 2. Если все члены арифметической прогрессии { а n } умножить на одно и то же действительное число k , то полученная последовательность тоже будет арифметической прогрессией, разность которой соответственно изменится в k раз	Операции над прогрессиями Если { а n } и { bn } геометрические прогрессии со знаменателями q 1 и q 2 соответственно, то последовательность: 1) {an ×bn q 1×q 2; 2) {an /bn } тоже является геометрической прогрессией со знаменателем q 1/q 2; 3) {|an |} тоже является геометрической прогрессией со знаменателем |q 1|

Основные методы решения задач на прогрессии

1. Один из наиболее распространённых методов решения задач на арифметические прогрессии состоит в том, что все задействованные в условии задачи члены прогрессии выражаются через разность прогрессии d a d и а 1.

2. Широко распространён и считается стандартным метод решения задач на геометрические прогрессии , когда все фигурирующие в условии задачи члены геометрической прогрессии выражаются через знаменатель прогрессии q и какой-либо один его член, чаще всего первый b 1. Исходя из условий задачи, составляется и решается система с неизвестными q и b 1.

Образцы решения задач

Задача 1 .

Задана последовательность х n = 4n (n 2 + 1) – (6n 2 + 1). Найти сумму Sn первых n членов этой последовательности.

Решение . Преобразуем выражение для общего члена последовательности:

х n = 4n (n 2 + 1) – (6n 2 + 1) = 4n 3 + 4n – 6n 2 – 1 = n 4 – n 4 + 4n 3 – 6n 2 + 4n – 1 =

= n 4 – (n 4 – 4n 3 + 6n 2 – 4n + 1) = n 4 – (n – 1)4.

Sn = x 1 + x 2 + x 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (n 4 – (n – 1)4) = n 4.

Задача 2 .

Задана последовательность а n = 3n + 2..gif" width="429" height="45">.

Отсюда, A (3n + 5) + B (3n + 2) = 1,

(3A + 3B )n + (5A + 2B ) = 1.

n .

n 1 | 3A + 3B = 0,

n0 | 5A + 2B = 1.

А = 1/3, В = –1/3.

Таким образом, https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" width="197" height="45">.gif" width="113" height="45">.gif" width="39" height="41 src=">а n . Является ли число 1980 членом этой последовательности? Если да, то определить его номер.

Решение . Выпишем первые n членов этой последовательности:

а 1 = 2, , https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" width="63" height="41">.gif" width="108" height="41">.gif" width="93" height="41">.

Перемножим эти равенства:

а 1а 2а 3а 4а 5…an -2an -1an = а 1а 2а 3а 4а 5…an -2an -1.

Отсюда, an = n (n + 1).

Тогда, 1980 = n (n + 1) Û n 2 + n – 1980 = 0 Û n = –45 < 0, n = 44 Î N .

Ответ: да, n = 44.

Задача 4 .

Найти сумму S = а 1 + а 2 + а 3 + … + а n чисел а 1, а 2, а 3, …,а n , которые при любом натуральном n удовлетворяют равенству Sn = а 1 + 2а 2 + 3а 3 + … + n а n = .

Решение . S 1 = a 1 = 2/3.

Для n > 1, nan = Sn – Sn –1 = – https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" width="216" height="48 src=">.

Отсюда, =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" width="244" height="44">,

А (n + 1)(n + 2) + Bn (n + 2) + Cn (n + 1) = 1

(A + B + C )n 2 + (3A + 2B + C )n + 2A = 1,

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях n .

n 2 | A + B + C = 0,

n 1 | 3A + 2B + C = 0,

n0 | 2A = 1.

Решая полученную систему, получим А = 1/2, В = –1, C = 1/2.

Итак, https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" width="139" height="45 src=">.gif" width="73" height="41">,

где , , n > 1,

S ¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" width="233" height="45 src=">=.

S ¢¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" width="257" height="45 src=">=.

S = а 1 + а 2 + а 3 + … + а n = а 1 +=

= а 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" width="72" height="41 src=">==

Задача 5 .

Найти наибольший член последовательности .

Решение . Положим bn = –n 2 + 8n – 7 = 9 – (n – 4)2, .

Понятие числовой последовательности

Определение 2

Отображения натурального ряда чисел на множество действительных чисел будет называться числовой последовательностью: $f:N→R$

Числовая последовательность обозначается следующим образом:

${p_k }={p_1,p_2,…,p_k,…}$

где $p_1,p_2,…,p_k,…$ - действительные числа.

Есть три различных способа для задания числовых последовательностей. Опишем их.

Аналитический.

В этом способе последовательность задается в виде формулы, с помощью которой можно найти любой член этой последовательности, подставляя в нее вместо переменной натуральные числа.

Рекуррентный.

Данный способ задания последовательности заключается в следующем: Дается первый (или несколько первых) член данной последовательности, а затем формула, которая связывает любой член ее с предыдущим членом или предыдущими членами.

Словесный.

При этом способе числовая последовательность просто описывается без введения каких-либо формул.

Двумя частными случаями числовых последовательностей являются арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Определение 3

Арифметической прогрессией называется последовательность, которая словесно описывается следующим образом: Задано первое число. Каждое же последующее определяется как сумма предыдущего с наперед заданным конкретным числом $d$.

В этом определении данное наперед заданное число будем называть разностью арифметической прогрессии.

$p_1,p_{k+1}=p_k+d.$

Замечание 1

Отметим, что частным случаем арифметической прогрессии является постоянная прогрессия, при которой разность прогрессии равняется нулю.

Для обозначения арифметической прогрессии в ее начале изображается следующий символ :

$p_k=p_1+(k-1)d$

$S_k=\frac{(p_1+p_k)k}{2}$ или $S_k=\frac{(2p_1+(k-1)d)k}{2} $

У арифметической прогрессии есть так называемое характеристическое свойство, которое определяется формулой:

$p_k=\frac{p_{k-1}+p_{k+1}}{2}$

Геометрическая прогрессия

Определение 4

Геометрической прогрессией называется последовательность, которая словесно описывается следующим образом: Задано первое число, не равное нулю. Каждое же последующее определяется как произведение предыдущего с наперед заданным конкретным не равным нулю числом $q$.

В этом определении данное наперед заданное число будем называть знаменателем геометрической прогрессии.

Очевидно, что рекуррентно эту последовательность записываем следующим образом:

$p_1≠0,p_{k+1}=p_k q,q≠0$.

Замечание 2

Отметим, что частным случаем геометрической прогрессии является постоянная прогрессия, при которой знаменатель прогрессии равняется единице.

Для обозначения арифметической прогрессии в ее начале изображается следующий символ:

Из рекуррентного соотношения для данной последовательности легко выводится формула для нахождения любого члена через первый:

$p_k=p_1 q^{(k-1)}$

Сумма $k$ первых членов можно найти по формуле

$S_k=\frac{p_k q-p_1}{q-1}$ или $S_k=\frac{p_1 (q^k-1)}{q-1}$

Она является геометрической.

Очевидно, что знаменатель данной геометрической прогрессии равняется

$q=\frac{9}{3}=3$

Тогда по второй формуле суммы арифметической прогрессии, получим:

$S_5=\frac{3\cdot (3^5-1)}{3-1}=363$

Вида y = f (x ), x О N , где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n ) или y 1 , y 2 ,…, y n ,…. Значения y 1 , y 2 , y 3 ,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n 2 можно записать:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:

y n = f (n ).

Пример. y n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y 1 = 3; y n = y n –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y n = 4n – 1.

Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n –1 , если n = 3, 4,….

Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .

На первый взгляд, формула для n -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n .

Свойства числовых последовательностей.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность {y n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Определение.Последовательность {y n } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n > y n +1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y 1 = 1; y n = n 2 – возрастающая последовательность.

Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.

Геометрическая прогрессия.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q , называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b n }, заданная рекуррентно соотношениями

b 1 = b , b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.

Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 q

Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b 1 2 , а знаменатель – q 2 .

Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид

b n = b 1 q n– 1 .

Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия

b 1 , b 2 , b 3 , …, b n

пусть S n – сумма ее членов, т.е.

S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n .

Принимается, что q № 1. Для определения S n применяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S n q .

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n )q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n + b n q = S n + b n q – b 1 .

Таким образом, S n q = S n + b n q – b 1 и, следовательно,

Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.

При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S n = a 1 n .

Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как

b n = b n- 1 q;

b n = b n+ 1 /q,

следовательно, b n 2= b n– 1 b n+ 1 и верна следующаятеорема(характеристическое свойство геометрической прогрессии):

числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.

Предел последовательности.

Пусть есть последовательность {c n } = {1/n }. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число

В противном случае последовательность называется расходящейся.

Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c n } = {1/n }. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность

Существует ли такое N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/ε , то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N ε , что и требовалось доказать.

Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 3. Если последовательность {a n } имеет предел A , то последовательности {ca n }, {a n + с} и {| a n |} имеют пределы cA , A + c , |A | соответственно (здесь c – произвольное число).

Теорема 4. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B pa n + qb n } имеет предел pA + qB .

Теорема 5. Если последовательности {a n } и {b n }имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a n b n } имеет предел AB.

Теорема 6. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b n ≠ 0 и B ≠ 0, то последовательность {a n / b n } имеет предел A/B .

Анна Чугайнова